Номер 65, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

65. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $45^\circ$ и делит основание трапеции на отрезки 6 см и 30 см. Найдите площадь трапеции.

а) $108 \text{ см}^2$;

б) $144 \text{ см}^2$;

в) $180 \text{ см}^2$;

г) $216 \text{ см}^2$;

д) $360 \text{ см}^2$.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$.

По условию, высота $BH$ образует с боковой стороной $AB$ угол $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем $\angle BHA = 90^\circ$ (так как $BH$ - высота) и $\angle ABH = 45^\circ$ (по условию). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, угол при основании трапеции $\angle BAH$ равен:
$\angle BAH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны ($\angle BAH = \angle ABH = 45^\circ$), то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $BH = AH$. Таким образом, высота трапеции $h$ равна отрезку $AH$.

Высота $BH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Их длины по условию равны 6 см и 30 см.

В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой от большего основания (в нашем случае $AH$), равен полуразности оснований $AH = \frac{AD-BC}{2}$. Другой отрезок, $HD$, равен полусумме оснований $HD = \frac{AD+BC}{2}$ (то есть длине средней линии трапеции). Поскольку основания - это длины, они положительны, следовательно, $HD > AH$.
Таким образом, $AH$ - это меньший из отрезков, а $HD$ - больший.
$AH = 6$ см.
$HD = 30$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые для расчета площади элементы:
1. Высота трапеции: $h = BH = AH = 6$ см.
2. Большее основание: $AD = AH + HD = 6 + 30 = 36$ см.
3. Меньшее основание: Так как средняя линия трапеции равна $HD$, то $\frac{AD+BC}{2} = HD$.
$\frac{36+BC}{2} = 30 \Rightarrow 36 + BC = 60 \Rightarrow BC = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$
Подставляем найденные значения:
$S = \frac{36 + 24}{2} \cdot 6 = \frac{60}{2} \cdot 6 = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2$.

Также можно было вычислить площадь, зная высоту $h=6$ см и среднюю линию $m=HD=30$ см:
$S = m \cdot h = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2$.
Ответ: $180 \text{ см}^2$.