Номер 68, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Тренировочные упражнения - номер 68, страница 184.

Условие.

68. Дан квадрат ABCD. На продолжении стороны AD взята точка K так, что $AK = 1,5AD$. Во сколько раз площадь трапеции ABCK больше площади треугольника ACK?

а) $\frac{4}{3}$;

б) $1,5$;

в) $\frac{5}{3}$;

г) $2$;

д) $\frac{7}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим длину стороны квадрата $ABCD$ через $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = AD = a$.

Согласно условию задачи, точка $K$ находится на продолжении стороны $AD$, и длина отрезка $AK$ составляет $1,5$ от длины стороны $AD$. Отсюда следует, что $AK = 1,5 \cdot AD = 1,5a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCK$. Поскольку $BC$ и $AD$ являются противоположными сторонами квадрата, они параллельны ($BC \parallel AD$). Так как точка $K$ лежит на прямой $AD$, то $BC \parallel AK$. Следовательно, $ABCK$ — это трапеция. Так как сторона $AB$ перпендикулярна $AD$ (и, соответственно, $AK$), трапеция $ABCK$ является прямоугольной.

Вычислим площадь трапеции $ABCK$. Основаниями трапеции являются параллельные стороны $BC$ и $AK$, а высотой — сторона $AB$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ — основания, а $h$ — высота.
$S_{ABCK} = \frac{BC + AK}{2} \cdot AB = \frac{a + 1,5a}{2} \cdot a = \frac{2,5a}{2} \cdot a = 1,25a^2$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ACK$. В качестве основания треугольника возьмем сторону $AK$. Высотой, опущенной из вершины $C$ на основание $AK$ (или на прямую, содержащую это основание), будет перпендикуляр, проведенный из точки $C$ к прямой $AD$. В квадрате $ABCD$ таким перпендикуляром является сторона $CD$, длина которой равна $a$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота.
$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot (1,5a) \cdot a = 0,75a^2$.

Для того чтобы найти, во сколько раз площадь трапеции $ABCK$ больше площади треугольника $ACK$, необходимо найти отношение их площадей:
$\frac{S_{ABCK}}{S_{ACK}} = \frac{1,25a^2}{0,75a^2} = \frac{1,25}{0,75}$.
Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные или умножим числитель и знаменатель на 100:
$\frac{125}{75} = \frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{5}{3}$.

Следовательно, площадь трапеции $ABCK$ в $\frac{5}{3}$ раза больше площади треугольника $ACK$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.