Номер 62, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

62. $ABCD$ – параллелограмм, точка $K$ – середина стороны $BC$. Площадь треугольника $ABK$ равна $S$. Найдите площадь $x$, используя данные на рисунке 136:

а)

б)

Рисунок 136

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины A к прямой BC. Поскольку точка K является серединой стороны BC, их основания $BK$ и $KC$ равны. Следовательно, площади этих треугольников также равны: $S_{AKC} = S_{ABK} = S$.Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$: $S_{ABC} = S_{ABK} + S_{AKC} = S + S = 2S$.Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равновеликих (имеющих равную площадь) треугольника, поэтому площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ в два раза больше площади $\triangle ABC$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot (2S) = 4S$.Площадь $x$ треугольника $\triangle AKD$ можно вычислить по формуле $x = S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$, где $h$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне AD. Так как K лежит на прямой BC, параллельной AD, высота $\triangle AKD$ из вершины K к основанию AD равна высоте параллелограмма $h$.Площадь параллелограмма также выражается формулой $S_{ABCD} = AD \cdot h$.Следовательно, $x = S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.Подставляя найденное выражение для площади параллелограмма, получаем: $x = \frac{1}{2} (4S) = 2S$.

Ответ: $x = 2S$.

б)

Из решения пункта а) мы знаем, что площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 4S$.Площадь $x$ искомого треугольника $\triangle AKN$ можно найти, вычтя из площади параллелограмма площади трех треугольников по углам: $\triangle ABK$, $\triangle KCN$ и $\triangle ADN$.$x = S_{AKN} = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{KCN} - S_{ADN}$.По условию, $S_{ABK} = S$.Найдем площадь $\triangle KCN$. Точка K — середина BC ($KC = \frac{1}{2}BC$), а точка N — середина CD ($CN = \frac{1}{2}CD$).Площадь $\triangle KCN$ равна $S_{KCN} = \frac{1}{2} KC \cdot CN \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}BC\right) \left(\frac{1}{2}CD\right) \sin(\angle C) = \frac{1}{8} BC \cdot CD \cdot \sin(\angle C)$.Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin(\angle C)$.Следовательно, $S_{KCN} = \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{1}{8}(4S) = \frac{S}{2}$.Теперь найдем площадь $\triangle ADN$. Рассмотрим $\triangle ADC$. Его площадь равна половине площади параллелограмма: $S_{ADC} = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2}(4S) = 2S$. В $\triangle ADC$ отрезок AN является медианой, так как N — середина стороны CD. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.Следовательно, $S_{ADN} = \frac{1}{2}S_{ADC} = \frac{1}{2}(2S) = S$.Подставим все найденные значения в формулу для $x$:$x = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{KCN} - S_{ADN} = 4S - S - \frac{S}{2} - S = 2S - \frac{S}{2} = \frac{3S}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3S}{2}$.