Номер 61, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Тренировочные упражнения - номер 61, страница 183.

Условие.

61. Найдите площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой относятся как $4:5$, а разность оснований равна 9 см, если ее:

а) меньшая диагональ равна 20 см;

б) большая диагональ равна 20 см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AB$ и $DC$, причем $DC > AB$, а боковая сторона $AD$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, $AD$ является высотой трапеции $h$. Вторая боковая сторона — $BC$.

По условию, боковые стороны относятся как 4:5. Так как в прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота), короче наклонной боковой стороны, то $AD : BC = 4:5$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$, тогда высота $h = AD = 4x$, а наклонная боковая сторона $BC = 5x$.

Разность оснований равна 9 см, то есть $DC - AB = 9$ см.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Получим прямоугольник $ABHD$, в котором $BH = AD = 4x$ и $DH = AB$. Отрезок $HC$ на большем основании будет равен разности оснований: $HC = DC - DH = DC - AB = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Его катеты $BH = 4x$ и $HC = 9$ см, а гипотенуза $BC = 5x$. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$(4x)^2 + 9^2 = (5x)^2$

$16x^2 + 81 = 25x^2$

$9x^2 = 81$

$x^2 = 9$

$x = 3$ (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту трапеции: $h = AD = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь решим задачу для каждого из двух случаев.

а) меньшая диагональ равна 20 см
В прямоугольной трапеции две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем их квадраты через стороны трапеции. Пусть меньшее основание $AB = a$, большее $DC = b$.
Из прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + h^2$.
Из прямоугольного треугольника $ADC$: $AC^2 = DC^2 + AD^2 = b^2 + h^2$.
Так как $b > a$, то $b^2 > a^2$, и, следовательно, $AC^2 > BD^2$, что означает $AC > BD$. Значит, меньшая диагональ — это $BD$.
По условию $BD = 20$ см. Используем теорему Пифагора для $\triangle ABD$:
$a^2 + h^2 = BD^2$
$a^2 + 12^2 = 20^2$
$a^2 + 144 = 400$
$a^2 = 400 - 144 = 256$
$a = 16$ см.
Теперь найдем большее основание $b$:
$b = a + 9 = 16 + 9 = 25$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{16+25}{2} \cdot 12 = \frac{41}{2} \cdot 12 = 41 \cdot 6 = 246$ см$^2$.
Ответ: $246$ см$^2$.

б) большая диагональ равна 20 см
Как мы установили ранее, большая диагональ — это $AC$.
По условию $AC = 20$ см. Используем теорему Пифагора для $\triangle ADC$:
$b^2 + h^2 = AC^2$
$b^2 + 12^2 = 20^2$
$b^2 + 144 = 400$
$b^2 = 400 - 144 = 256$
$b = 16$ см.
Теперь найдем меньшее основание $a$:
$a = b - 9 = 16 - 9 = 7$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{7+16}{2} \cdot 12 = \frac{23}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 6 = 138$ см$^2$.
Ответ: $138$ см$^2$.