Номер 74, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

74. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AB = 2$ дм, $BH$ - высота, $HD = 4$ дм. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна ... $дм^2$.

Для нахождения площади параллелограмма $ABCD$ используется формула $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона (основание), а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае, площадь будет равна $S = AD \cdot BH$.

1. Найдем высоту $BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 2$ дм и угол $\angle A = 60^\circ$. Высота $BH$ является катетом, противолежащим углу $A$.

Используем синус угла $A$:

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

$BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$BH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

2. Найдем основание $AD$.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AH$ и $HD$. Отрезок $HD$ нам дан по условию ($HD = 4$ дм). Найдем отрезок $AH$ из того же прямоугольного треугольника $ABH$. $AH$ — это катет, прилежащий к углу $A$.

Используем косинус угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ дм.

Теперь можем найти длину всего основания $AD$:

$AD = AH + HD = 1 + 4 = 5$ дм.

3. Найдем площадь параллелограмма.

Теперь, когда у нас есть и основание $AD$, и высота $BH$, мы можем вычислить площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 5 \cdot \sqrt{3}$ дм².

Ответ: $5\sqrt{3}$