Номер 81, страница 186 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

81. Найдите неизвестные элементы:

a) A(-14; -12) B(12; 12) M C(20; -4) $BM = CM$ $AM - ?$

б) A(-3; -2) B(-1; 3) M C(3; -1) $BM = CM$ $AM - ?$

б) A(-6; 0) B(-4; 6) C(6; 6) D(4; 0) $S_{ABCD} - ?$

г) A(-8; 0) B(8; 12) C(12; 0) $S_{ABC} - ?$

д) A(-4; -4) B(-18; 6) C(-6; 18) D(8; 4) $S_{ABCD} - ?$

е) A(-12; -4) B(-4; 12) C(8; 12) D(12; 4) $S_{ABCD} - ?$

а) По условию $BM = CM$, значит точка M — середина отрезка BC. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка: $x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$, $y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$.

Подставим координаты точек B(12; 12) и C(20; -4):
$x_M = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$y_M = \frac{12 + (-4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Следовательно, координаты точки M(16; 4).

Теперь найдем длину медианы AM как расстояние между точками A(-14; -12) и M(16; 4) по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$AM = \sqrt{(16 - (-14))^2 + (4 - (-12))^2} = \sqrt{(30)^2 + (16)^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$.

Ответ: 34

б) Аналогично предыдущей задаче, M — середина BC. Найдем координаты M(x_M; y_M), имея B(-1; 3) и C(3; -1):

$x_M = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты точки M(1; 1).

Найдем длину медианы AM как расстояние между точками A(-3; -2) и M(1; 1):

$AM = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

в) Координаты вершин: A(-6; 0), B(-4; 6), C(6; 6), D(4; 0). Так как ординаты точек A и D, а также B и C попарно равны ($y_A=y_D=0$, $y_B=y_C=6$), стороны AD и BC параллельны оси Ox и друг другу. Следовательно, ABCD — трапеция.

Найдем длины оснований AD и BC. Поскольку они горизонтальны, их длины равны модулю разности абсцисс:
$AD = |x_D - x_A| = |4 - (-6)| = 10$
$BC = |x_C - x_B| = |6 - (-4)| = 10$

Высота трапеции h равна разности ординат оснований: $h = y_B - y_A = 6 - 0 = 6$.

Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 10}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$.

Ответ: 60

г) Вершины треугольника: A(-8; 0), B(8; 12), C(12; 0). Сторона AC лежит на оси Ox, так как ординаты точек A и C равны нулю. Примем AC за основание треугольника.

Длина основания AC: $AC = |x_C - x_A| = |12 - (-8)| = 20$.

Высота, проведенная из вершины B к основанию AC, равна ординате точки B: $h = y_B = 12$.

Площадь треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 120$.

Ответ: 120

д) Для нахождения площади четырехугольника ABCD с вершинами A(-4; -4), B(-18; 6), C(-6; 18), D(8; 4) воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):

$S = \frac{1}{2} |(x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A) - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A)|$.

Подставим координаты вершин:
$S = \frac{1}{2} |((-4) \cdot 6 + (-18) \cdot 18 + (-6) \cdot 4 + 8 \cdot (-4)) - ((-4) \cdot (-18) + 6 \cdot (-6) + 18 \cdot 8 + 4 \cdot (-4))|$

$S = \frac{1}{2} |(-24 - 324 - 24 - 32) - (72 - 36 + 144 - 16)|$

$S = \frac{1}{2} |(-404) - (164)| = \frac{1}{2} |-568| = \frac{568}{2} = 284$.

Ответ: 284

е) Координаты вершин: A(-12; -4), B(-4; 12), C(8; 12), D(12; -4). Так как $y_A=y_D=-4$ и $y_B=y_C=12$, стороны AD и BC параллельны. Следовательно, ABCD — трапеция.

Длины оснований:
$AD = |x_D - x_A| = |12 - (-12)| = 24$
$BC = |x_C - x_B| = |8 - (-4)| = 12$

Высота трапеции: $h = y_B - y_A = 12 - (-4) = 16$.

Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{24 + 12}{2} \cdot 16 = \frac{36}{2} \cdot 16 = 18 \cdot 16 = 288$.

Ответ: 288