Номер 47, страница 177 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

47. Укажите, какие из равенств являются тождествами:

а) $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$;

б) $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha - 1}}$;

в) $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

г) $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$;

д) $tg \alpha + ctg \alpha = 1$.

Для того чтобы определить, какие из равенств являются тождествами, необходимо проверить каждое из них, используя основные тригонометрические формулы и определения.

а) $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$

Рассмотрим правую часть равенства. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это выражение в знаменатель:

$\frac{\sin \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|}$

По определению, $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Равенство $ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|} $ выполняется только тогда, когда $\cos \alpha = |\cos \alpha|$, то есть при $\cos \alpha \ge 0$. Это условие не выполняется для всех углов $\alpha$ (например, для углов во II и III четвертях), следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

б) $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha - 1}}$

Рассмотрим выражение под корнем в знаменателе. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Тогда знаменатель принимает вид $\sqrt{-\sin^2 \alpha}$. Так как $\sin^2 \alpha \ge 0$ для любого действительного $\alpha$, то $-\sin^2 \alpha \le 0$. Квадратный корень из неположительного числа не определен в области действительных чисел (за исключением нуля, но при $\sin \alpha = 0$ котангенс не определен). Таким образом, правая часть равенства не определена для почти всех значений $\alpha$.

Ответ: не является тождеством.

в) $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Преобразуем левую часть равенства, используя определение тангенса $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$1 + tg^2 \alpha = 1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Левая часть равна правой для всех допустимых значений $\alpha$ (где $\cos \alpha \neq 0$). Это равенство является одним из основных тригонометрических тождеств.

Ответ: является тождеством.

г) $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$

Известно тригонометрическое тождество $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Преобразуем правую часть исходного равенства:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{|\cos \alpha|}$

Таким образом, нужно проверить, является ли тождеством равенство $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{|\cos \alpha|}$. Это неверно. Например, при $\alpha = \frac{\pi}{4}$ левая часть равна $\frac{1}{(\sin(\pi/4))^2} = \frac{1}{(1/\sqrt{2})^2} = 2$, а правая равна $\frac{1}{|\cos(\pi/4)|} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: не является тождеством.

д) $tg \alpha + ctg \alpha = 1$

Преобразуем левую часть, используя определения тангенса и котангенса:

$tg \alpha + ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Используя основное тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Равенство принимает вид $\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1$, или $\sin \alpha \cos \alpha = 1$. Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем $\frac{1}{2}\sin(2\alpha) = 1$, то есть $\sin(2\alpha) = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как максимальное значение синуса равно 1.

Ответ: не является тождеством.