Номер 46, страница 177 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

46. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. На отрезки какой длины делит гипотенузу высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла?

а) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{21}{5} $

б) $ \frac{15}{8} $ и $ \frac{25}{8} $

в) $ \frac{9}{5} $ и $ \frac{16}{5} $

г) 2 и 3

д) другой ответ.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a=3$ и $b=4$. Необходимо найти длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.

1. Найдем длину гипотенузы
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$
Длина гипотенузы равна 5.

2. Найдем длины отрезков гипотенузы
Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим их $c_a$ и $c_b$.
Используем метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Для катета $a=3$ его проекция $c_a$ вычисляется по формуле $a^2 = c \cdot c_a$:
$3^2 = 5 \cdot c_a$
$9 = 5 \cdot c_a$
$c_a = \frac{9}{5}$

Для катета $b=4$ его проекция $c_b$ вычисляется по формуле $b^2 = c \cdot c_b$:
$4^2 = 5 \cdot c_b$
$16 = 5 \cdot c_b$
$c_b = \frac{16}{5}$

Проверим, что сумма длин отрезков равна длине гипотенузы: $\frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5$. Расчеты верны.
Таким образом, искомые длины отрезков равны $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$. Этот результат соответствует варианту в).

Ответ: $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$.