Номер 39, страница 174 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

39. Найдите неизвестные элементы треугольника:

a)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

б)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

в)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

г)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

д)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

е)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

а)

В данном прямоугольном треугольнике известен острый угол $30^{\circ}$ и противолежащий ему катет, равный 8. Требуется найти второй острый угол $a$, прилежащий катет $x$ и гипотенузу $y$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, следовательно, угол $a$ можно найти как: $a = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Катет $x$ является прилежащим к углу $30^{\circ}$. Мы можем найти его, используя тангенс угла $30^{\circ}$, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\text{tg}(30^{\circ}) = \frac{8}{x}$. Отсюда $x = \frac{8}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$.

Гипотенузу $y$ можно найти, используя синус угла $30^{\circ}$, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(30^{\circ}) = \frac{8}{y}$. Отсюда $y = \frac{8}{\sin(30^{\circ})} = \frac{8}{1/2} = 16$.

Ответ: $a = 60^{\circ}, x = 8\sqrt{3}, y = 16$.

б)

В данном прямоугольном треугольнике известен острый угол $60^{\circ}$ и прилежащий к нему катет, равный 12. Необходимо найти второй острый угол $a$, противолежащий катет $y$ и гипотенузу $x$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, поэтому угол $a$ равен: $a = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Катет $y$ противолежит углу $60^{\circ}$. Найдем его через тангенс: $\text{tg}(60^{\circ}) = \frac{y}{12}$. Отсюда $y = 12 \cdot \text{tg}(60^{\circ}) = 12\sqrt{3}$.

Гипотенузу $x$ найдем через косинус угла $60^{\circ}$: $\cos(60^{\circ}) = \frac{12}{x}$. Отсюда $x = \frac{12}{\cos(60^{\circ})} = \frac{12}{1/2} = 24$.

Ответ: $a = 30^{\circ}, x = 24, y = 12\sqrt{3}$.

в)

Дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 20, а один из острых углов равен $60^{\circ}$. Требуется найти второй острый угол $\beta$ и катеты $x$ и $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Катет $x$ прилежит к углу $60^{\circ}$. Найдем его, используя косинус: $\cos(60^{\circ}) = \frac{x}{20}$. Отсюда $x = 20 \cdot \cos(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$.

Катет $y$ противолежит углу $60^{\circ}$. Найдем его, используя синус: $\sin(60^{\circ}) = \frac{y}{20}$. Отсюда $y = 20 \cdot \sin(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Ответ: $\beta = 30^{\circ}, x = 10, y = 10\sqrt{3}$.

г)

В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза $8\sqrt{3}$ и острый угол $30^{\circ}$. Нужно найти второй острый угол $\beta$ и катеты $x$ и $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Катет $x$ противолежит углу $30^{\circ}$. Найдем его через синус: $\sin(30^{\circ}) = \frac{x}{8\sqrt{3}}$. Отсюда $x = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$.

Катет $y$ прилежит к углу $30^{\circ}$. Найдем его через косинус: $\cos(30^{\circ}) = \frac{y}{8\sqrt{3}}$. Отсюда $y = 8\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$.

Ответ: $\beta = 60^{\circ}, x = 4\sqrt{3}, y = 12$.

д)

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $45^{\circ}$ и гипотенузой $18\sqrt{2}$. Необходимо найти второй острый угол $a$ и катеты $x$ и $y$.

Так как один из острых углов равен $45^{\circ}$, то и второй острый угол $a$ будет равен: $a = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Поскольку оба острых угла равны $45^{\circ}$, треугольник является равнобедренным, а это значит, что его катеты равны: $x = y$.

Найдем катет $x$ (прилежащий к углу $45^{\circ}$) через косинус: $\cos(45^{\circ}) = \frac{x}{18\sqrt{2}}$. Отсюда $x = 18\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{18 \cdot 2}{2} = 18$.

Поскольку $x = y$, то $y = 18$.

Ответ: $a = 45^{\circ}, x = 18, y = 18$.

е)

В прямоугольном треугольнике известен острый угол $45^{\circ}$ и противолежащий ему катет, равный 12. Требуется найти второй острый угол $\beta$, прилежащий катет $x$ и гипотенузу $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Так как оба острых угла равны $45^{\circ}$, треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Следовательно, катет $x$ также равен 12: $x = 12$.

Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора: $y^2 = x^2 + 12^2 = 12^2 + 12^2 = 2 \cdot 144$. $y = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$.

Ответ: $\beta = 45^{\circ}, x = 12, y = 12\sqrt{2}$.