Номер 36, страница 174 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

36. Заполните таблицу:

В основе всех решений лежат определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора:

$sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, $cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, $tg(\alpha) = \frac{a}{b}$, $ctg(\alpha) = \frac{b}{a}$, $a^2 + b^2 = c^2$.

А также основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Решение для c = 15, cos α = 3/5 (Столбец 1)

Дано: гипотенуза $c = 15$ и $cos(\alpha) = \frac{3}{5}$.

1. Найдем катет $b$. Из определения косинуса $cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ следует, что $b = c \cdot cos(\alpha) = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

2. Найдем $sin(\alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Поскольку $\alpha$ - острый угол, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Найдем катет $a$. Из определения синуса $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ следует, что $a = c \cdot sin(\alpha) = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $a=12, b=9, sin(\alpha)=\frac{4}{5}, tg(\alpha)=\frac{4}{3}, ctg(\alpha)=\frac{3}{4}$.

Решение для b = 48, tg α = 5/12 (Столбец 2)

Дано: катет $b = 48$ и $tg(\alpha) = \frac{5}{12}$.

1. Найдем катет $a$. Из определения тангенса $tg(\alpha) = \frac{a}{b}$ следует, что $a = b \cdot tg(\alpha) = 48 \cdot \frac{5}{12} = 20$.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704} = 52$.

3. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}$.

4. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5}$.

Ответ: $a=20, c=52, sin(\alpha)=\frac{5}{13}, cos(\alpha)=\frac{12}{13}, ctg(\alpha)=\frac{12}{5}$.

Решение для a = 9, ctg α = 9/40 (Столбец 3)

Дано: катет $a = 9$ и $ctg(\alpha) = \frac{9}{40}$.

1. Найдем катет $b$. Из определения котангенса $ctg(\alpha) = \frac{b}{a}$ следует, что $b = a \cdot ctg(\alpha) = 9 \cdot \frac{9}{40} = \frac{81}{40}$.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + (\frac{81}{40})^2} = \sqrt{81 + \frac{6561}{1600}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 1600 + 6561}{1600}} = \sqrt{\frac{129600 + 6561}{1600}} = \sqrt{\frac{136161}{1600}} = \frac{\sqrt{136161}}{\sqrt{1600}} = \frac{369}{40}$.

3. Найдем $tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)} = \frac{1}{9/40} = \frac{40}{9}$.

4. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{9}{369/40} = \frac{9 \cdot 40}{369} = \frac{360}{369} = \frac{40}{41}$.

5. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{81/40}{369/40} = \frac{81}{369} = \frac{9}{41}$.

Ответ: $b=\frac{81}{40}, c=\frac{369}{40}, sin(\alpha)=\frac{40}{41}, cos(\alpha)=\frac{9}{41}, tg(\alpha)=\frac{40}{9}$.

Решение для a = 0,7, sin α = 7/25 (Столбец 4)

Дано: катет $a = 0,7$ и $sin(\alpha) = \frac{7}{25}$.

1. Найдем гипотенузу $c$. Из определения синуса $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ следует, что $c = \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{0,7}{7/25} = \frac{7/10}{7/25} = \frac{7}{10} \cdot \frac{25}{7} = \frac{25}{10} = 2,5$.

2. Найдем $cos(\alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$. Поскольку $\alpha$ - острый угол, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

3. Найдем катет $b$. Из определения косинуса $b = c \cdot cos(\alpha) = 2,5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{25}{10} \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{10} = 2,4$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{0,7}{2,4} = \frac{7}{24}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{2,4}{0,7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $b=2,4, c=2,5, cos(\alpha)=\frac{24}{25}, tg(\alpha)=\frac{7}{24}, ctg(\alpha)=\frac{24}{7}$.

Решение для b = 10√2, cos α = 2√2/3 (Столбец 5)

Дано: катет $b = 10\sqrt{2}$ и $cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

1. Найдем гипотенузу $c$. Из определения косинуса $c = \frac{b}{cos(\alpha)} = \frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{2}/3} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Найдем $sin(\alpha)$. По тождеству $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Следовательно, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

3. Найдем катет $a$. Из определения синуса $a = c \cdot sin(\alpha) = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{5}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $a=5, c=15, sin(\alpha)=\frac{1}{3}, tg(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{4}, ctg(\alpha)=2\sqrt{2}$.

Решение для a = 6, b = 12 (Столбец 6)

Дано: катеты $a = 6$ и $b = 12$.

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

2. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

3. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $c=6\sqrt{5}, sin(\alpha)=\frac{\sqrt{5}}{5}, cos(\alpha)=\frac{2\sqrt{5}}{5}, tg(\alpha)=\frac{1}{2}, ctg(\alpha)=2$.

Решение для b = 4, tg α = 1 (Столбец 7)

Дано: катет $b = 4$ и $tg(\alpha) = 1$.

1. Если $tg(\alpha) = 1$, то $a/b = 1$, откуда $a=b$. Значит, $a = 4$. Треугольник равнобедренный.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

3. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $a=4, c=4\sqrt{2}, sin(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}, ctg(\alpha)=1$.