Номер 41, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

41. Найдите неизвестные элементы многоугольника:

a) $60^\circ$, 20, $S$-?

б) $30^\circ$, 14, $S$-?

в) $12\sqrt{3}$, $P$-?

г) 24, $60^\circ$, $P$-?

д) $45^\circ$, 10, $P$-?

е) B, C, D, A, $60^\circ$, $AB = 40$, $AC$-?

ж) 8, 16, $a$, 8, $a$-?

з) 7, 13, $a$, 6, $a$-?

и) 30, $x$, $60^\circ$, 40, $x$-?

к) 30, $x$, $60^\circ$, 40, $x$-?

а) Дан прямоугольник. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются стороны прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Дана гипотенуза $d=20$ и угол $60°$ между диагональю и одной из сторон. Найдем стороны прямоугольника, используя тригонометрические функции: $a = d \cdot \cos(60°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$. $b = d \cdot \sin(60°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b = 10 \cdot 10\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$. Ответ: $100\sqrt{3}$.

б) Дан прямоугольник с диагональю $d=14$ и углом $30°$ между диагональю и стороной. Аналогично предыдущей задаче, найдем стороны прямоугольника $a$ и $b$: $a = d \cdot \sin(30°) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$. $b = d \cdot \cos(30°) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника $S$ равна: $S = a \cdot b = 7 \cdot 7\sqrt{3} = 49\sqrt{3}$. Ответ: $49\sqrt{3}$.

в) Дан прямоугольник, у которого известна длина одной стороны $12\sqrt{3}$. Для нахождения периметра необходима длина второй стороны. В условии задачи недостаточно данных. Предположим, что острый угол между диагоналями равен $60°$. В этом случае отношение сторон прямоугольника равно $\sqrt{3}$. Пусть большая сторона $b = 12\sqrt{3}$. Тогда меньшая сторона $a = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$. Периметр прямоугольника $P$ равен: $P = 2(a+b) = 2(12 + 12\sqrt{3}) = 24(1+\sqrt{3})$. Ответ: $24(1+\sqrt{3})$.

г) Дан прямоугольник со стороной $a=24$. Угол между этой стороной и диагональю равен $60°$. Найдем вторую сторону $b$ через тангенс этого угла: $\tan(60°) = \frac{b}{a}$. $b = a \cdot \tan(60°) = 24 \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$. Периметр прямоугольника $P$ равен: $P = 2(a+b) = 2(24 + 24\sqrt{3}) = 48(1+\sqrt{3})$. Ответ: $48(1+\sqrt{3})$.

д) Условие задачи содержит неоднозначные или противоречивые данные. На чертеже изображена трапеция, для которой указаны длина одной стороны, угол в $45°$ и два символа прямого угла в разных местах. Различные последовательные интерпретации этих данных приводят к противоречиям (например, сумма углов треугольника превышает $180°$ или геометрия фигуры нарушается). Ввиду этого, однозначное решение задачи невозможно. Ответ: Решение невозможно из-за противоречивых условий.

е) На чертеже изображен параллелограмм, у которого отмечены равные смежные стороны, что означает, что это ромб. Указан угол при вершине B, равный $60°$. Сторона ромба $AB = 40$. Нужно найти диагональ $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB=BC=40$ (стороны ромба). Угол между этими сторонами $\angle ABC = 60°$. Треугольник, являющийся равнобедренным с углом $60°$ при вершине, является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны. $AC = AB = BC = 40$. Символ перпендикулярности диагоналей является свойством любого ромба и дополнительной информации не несет. Ответ: $40$.

ж) Дана равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно $8$, нижнее – $16$, боковая сторона – $8$. Требуется найти угол при основании $\alpha$. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого будет эта высота, а другим – отрезок на нижнем основании. Длина этого отрезка равна полуразности оснований: $x = \frac{16 - 8}{2} = 4$. Гипотенузой этого треугольника является боковая сторона трапеции, равная $8$. Угол $\alpha$ является углом между боковой стороной (гипотенузой) и нижним основанием. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $\alpha = 60°$. Ответ: $60°$.

з) Дана равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно $7$, нижнее – $13$, боковая сторона – $6$. Требуется найти угол при основании $\alpha$. Аналогично предыдущей задаче, опустим высоту и найдем длину проекции боковой стороны на нижнее основание: $x = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $6$, а прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $3$. Найдем косинус угла $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $\alpha = 60°$. Ответ: $60°$.

и) Дана прямоугольная трапеция. Верхнее основание равно $30$, нижнее – $40$. Угол при большем основании равен $60°$. Требуется найти высоту трапеции $x$. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором один катет – это высота трапеции $x$, а другой катет – это разность оснований: $40 - 30 = 10$. Угол, противолежащий катету $x$, равен $60°$. Используем тангенс для нахождения $x$: $\tan(60°) = \frac{x}{10}$. $x = 10 \cdot \tan(60°) = 10\sqrt{3}$. Ответ: $10\sqrt{3}$.

к) Задача идентична предыдущей. Дана прямоугольная трапеция с основаниями $30$ и $40$ и углом $60°$ при большем основании. Высота $x$ находится аналогично: опускаем высоту из вершины тупого угла, получаем прямоугольный треугольник с катетом $40 - 30 = 10$. Тогда второй катет (высота трапеции) равен: $x = 10 \cdot \tan(60°) = 10\sqrt{3}$. Ответ: $10\sqrt{3}$.