Номер 45, страница 177 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

45. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ) AB = 10 \text{ см}, BC = 6 \text{ см}, BM$ – медиана. Найдите синус угла $CBM$.

а) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{13}}{13}$;

в) $\frac{\sqrt{52}}{4}$;

г) $\frac{2\sqrt{13}}{13}$;

д) другой ответ.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $BC = 6$ см. Сначала найдём длину второго катета $AC$, используя теорему Пифагора:$AC^2 + BC^2 = AB^2$$AC^2 + 6^2 = 10^2$$AC^2 + 36 = 100$$AC^2 = 100 - 36 = 64$$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

По условию, $BM$ — это медиана, проведённая к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Следовательно, длина отрезка $MC$ равна половине длины $AC$:$MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CBM$. Поскольку $\angle C$ в исходном треугольнике $ABC$ прямой, то и угол $\angle BCM$ в треугольнике $CBM$ также равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $CBM$ является прямоугольным с катетами $BC = 6$ см и $MC = 4$ см. Найдём длину его гипотенузы $BM$ по теореме Пифагора:$BM^2 = BC^2 + MC^2$$BM^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$$BM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Нам нужно найти синус угла $CBM$. Так как треугольник $CBM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, мы можем использовать определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle CBM$ противолежащим катетом является $MC$, а гипотенузой — $BM$.$\sin(\angle CBM) = \frac{MC}{BM}$Подставим найденные значения длин $MC=4$ см и $BM=2\sqrt{13}$ см:$\sin(\angle CBM) = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{13}$:$\sin(\angle CBM) = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Полученный результат $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ соответствует варианту ответа г).

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$