Номер 38, страница 174 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

38. Используя тригонометрические формулы, заполните таблицу:

$sin a$

$cos a$

$tg a$

$ctg a$

$0,6$

$\frac{40}{9}$

Решение для первой строки (где cos α = 0,6)

В этой строке дано значение $cos \alpha = 0,6$. Нам нужно найти $sin \alpha$, $tg \alpha$ и $ctg \alpha$.

1. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Подставим известное значение $cos \alpha$:

$sin^2 \alpha + (0,6)^2 = 1$

$sin^2 \alpha + 0,36 = 1$

$sin^2 \alpha = 1 - 0,36$

$sin^2 \alpha = 0,64$

Извлекая квадратный корень, получаем: $sin \alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, мы предполагаем, что угол острый (находится в I четверти), где все тригонометрические функции положительны. Следовательно, выбираем положительное значение: $sin \alpha = 0,8$.

2. Теперь найдем $tg \alpha$ по формуле $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

3. Наконец, найдем $ctg \alpha$ по формуле $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.

$ctg \alpha = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $sin \alpha = 0,8$; $tg \alpha = \frac{4}{3}$; $ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

Решение для второй строки (где ctg α = 40/9)

В этой строке дано значение $ctg \alpha = \frac{40}{9}$. Нам нужно найти $sin \alpha$, $cos \alpha$ и $tg \alpha$.

1. Для нахождения $tg \alpha$ воспользуемся тождеством $tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{1}{\frac{40}{9}} = \frac{9}{40}$.

2. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся тождеством $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$.

$1 + (\frac{40}{9})^2 = 1 + \frac{1600}{81} = \frac{81}{81} + \frac{1600}{81} = \frac{1681}{81}$.

Таким образом, $\frac{1}{sin^2 \alpha} = \frac{1681}{81}$, откуда $sin^2 \alpha = \frac{81}{1681}$.

Извлекая квадратный корень, получаем $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm\frac{9}{41}$.

Поскольку $ctg \alpha$ положителен, угол $\alpha$ находится в I или III четверти. Мы снова предположим, что угол находится в I четверти, где синус положителен. Значит, $sin \alpha = \frac{9}{41}$.

3. Найдем $cos \alpha$, используя определение котангенса $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, откуда $cos \alpha = ctg \alpha \cdot sin \alpha$.

$cos \alpha = \frac{40}{9} \cdot \frac{9}{41} = \frac{40}{41}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{9}{41}$; $cos \alpha = \frac{40}{41}$; $tg \alpha = \frac{9}{40}$.