Номер 35, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

35. Найдите неизвестные элементы треугольника:

a)

$sin \alpha = \frac{3}{4}$

$x-?$

б)

$cos \alpha = \frac{4}{5}$

$x-?$

в)

$cos \beta = \frac{5}{13}$

$x-?$

$y-?$

г)

$sin \beta = \frac{3}{5}$

$x-?$

$y-?$

д)

$tg \alpha = \frac{15}{8}$

$x-?$

$y-?$

e)

$ctg \beta = \frac{4}{3}$

$x-?$

$y-?$

а) В прямоугольном треугольнике катет $x$ является противолежащим углу $\alpha$, а гипотенуза равна 12. По определению синуса острого угла: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Подставляем известные значения в формулу: $\sin \alpha = \frac{x}{12}$. Так как по условию $\sin \alpha = \frac{3}{4}$, получаем уравнение: $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$. Из этого уравнения находим $x$: $x = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$.
Ответ: $x=9$.

б) В прямоугольном треугольнике катет, равный 8, является прилежащим к углу $\alpha$, а сторона $x$ — гипотенуза. По определению косинуса острого угла: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Подставляем известные значения: $\cos \alpha = \frac{8}{x}$. Так как по условию $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, получаем уравнение: $\frac{8}{x} = \frac{4}{5}$. Решая это уравнение, находим $x$: $4x = 8 \cdot 5$, $4x = 40$, $x = 10$.
Ответ: $x=10$.

в) В данном прямоугольном треугольнике сторона $x$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, сторона $y$ — катет, противолежащий углу $\beta$, а гипотенуза равна 26. Для нахождения $x$ воспользуемся определением косинуса: $\cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{26}$. Поскольку $\cos \beta = \frac{5}{13}$, имеем: $\frac{x}{26} = \frac{5}{13}$. Отсюда $x = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$. Для нахождения $y$ применим теорему Пифагора $x^2 + y^2 = c^2$, где $c$ — гипотенуза: $10^2 + y^2 = 26^2$. Вычисляем: $100 + y^2 = 676$, $y^2 = 676 - 100 = 576$, $y = \sqrt{576} = 24$.
Ответ: $x=10, y=24$.

г) В этом прямоугольном треугольнике $x$ — катет, противолежащий углу $\beta$, $y$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, а гипотенуза равна 20. Для нахождения $x$ используем определение синуса: $\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{20}$. По условию $\sin \beta = \frac{3}{5}$, следовательно: $\frac{x}{20} = \frac{3}{5}$. Отсюда $x = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$. Катет $y$ найдем по теореме Пифагора $x^2 + y^2 = c^2$: $12^2 + y^2 = 20^2$. Вычисляем: $144 + y^2 = 400$, $y^2 = 400 - 144 = 256$, $y = \sqrt{256} = 16$.
Ответ: $x=12, y=16$.

д) В данном треугольнике катет $x$ противолежит углу $\alpha$, катет равный 8 прилежит к углу $\alpha$, а $y$ — гипотенуза. По определению тангенса: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{8}$. По условию $\tan \alpha = \frac{15}{8}$, значит: $\frac{x}{8} = \frac{15}{8}$. Отсюда $x = 15$. Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = y^2$, где $a$ и $b$ — катеты: $8^2 + 15^2 = y^2$. Вычисляем: $64 + 225 = y^2$, $289 = y^2$, $y = \sqrt{289} = 17$.
Ответ: $x=15, y=17$.

е) В этом треугольнике катет $x$ прилежит к углу $\beta$, катет равный 15 противолежит углу $\beta$, а $y$ — гипотенуза. По определению котангенса: $\cot \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{x}{15}$. По условию $\cot \beta = \frac{4}{3}$, следовательно: $\frac{x}{15} = \frac{4}{3}$. Отсюда $x = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$. Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = y^2$: $15^2 + 20^2 = y^2$. Вычисляем: $225 + 400 = y^2$, $625 = y^2$, $y = \sqrt{625} = 25$.
Ответ: $x=20, y=25$.