Номер 28, страница 169 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

28. Одной из замечательных точек треугольника является точка пересечения ..., равноудаленная от всех его вершин.

В пропуске должно быть словосочетание серединных перпендикуляров. Таким образом, полное утверждение звучит: "Одной из замечательных точек треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров, равноудаленная от всех его вершин."

Рассмотрим, почему это утверждение верно.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Главное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка.

Пусть у нас есть треугольник $ABC$.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Любая точка на этой прямой, по определению, будет равноудалена от вершин $A$ и $B$.

2. Построим серединный перпендикуляр к стороне $BC$. Любая точка на этой прямой будет равноудалена от вершин $B$ и $C$.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника всегда пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, то для нее выполняется равенство $OA = OB$.

Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, для нее выполняется равенство $OB = OC$.

Из этих двух равенств мы можем сделать вывод, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника ($A$, $B$ и $C$).

Именно поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров является центром окружности, описанной около треугольника. Вершины треугольника лежат на этой окружности, а расстояния $OA$, $OB$ и $OC$ являются ее радиусами.

Ответ: серединных перпендикуляров.