Номер 14, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

14. Найдите неизвестные элементы трапеции:

a) $x = (5+11)/2$

x-?

б) $6 = (4+x)/2$

x-?

в) $19 = (14+x)/2$

x-?

г) $x = (25+37)/2$

x-?

д) $7 = (10+x)/2$

x-?

e) $2 \cdot 12 = 15 + x$

x-?

ж) $d = (16-8)/4$

$y = 8+d$

$x = y+d$

$z = x+d$

x-?

y-?

z-?

з) $d = (33-21)/4$

$y = 21+d$

$x = y+d$

$z = x+d$

x-?

y-?

z-?

и) $y = x/2$

$x - y = AD - MN$

AD=40

MN=32

x-?

y-?

к) $y = x/2$

$x - y = AD - MN$

AD=20

MN=15

x-?

y-?

а)

Отрезок 𝑥 является средней линией трапеции, так как он соединяет середины боковых сторон, что показано штрихами на сторонах. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. В данном случае основания равны 5 и 11.

Формула для нахождения средней линии: $x = \frac{a+b}{2}$.

Подставляем значения оснований: $x = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $x=8$.

б)

В этой трапеции отрезок длиной 6 является средней линией, так как он соединяет середины боковых сторон. Основаниями трапеции являются отрезки длиной 4 и 𝑥. Применяем формулу для средней линии.

Формула: $средняя\_линия = \frac{основание_1 + основание_2}{2}$.

Подставляем известные значения: $6 = \frac{4 + x}{2}$.

Решаем уравнение относительно 𝑥: $12 = 4 + x$, откуда $x = 12 - 4 = 8$.

Ответ: $x=8$.

в)

Аналогично предыдущей задаче, отрезок длиной 19 является средней линией трапеции. Основания трапеции равны 14 и 𝑥.

Записываем уравнение на основе формулы средней линии: $19 = \frac{14 + x}{2}$.

Решаем уравнение: $38 = 14 + x$, откуда $x = 38 - 14 = 24$.

Ответ: $x=24$.

г)

Отрезок 𝑥 является средней линией трапеции, основания которой равны 25 и 37.

Используем формулу для средней линии: $x = \frac{25 + 37}{2} = \frac{62}{2} = 31$.

Ответ: $x=31$.

д)

В данной фигуре трапеция расположена на боковой стороне. Параллельными сторонами (основаниями) являются отрезки длиной 10 и 𝑥. Отрезок длиной 7 соединяет середины непараллельных сторон, следовательно, он является средней линией.

Записываем уравнение: $7 = \frac{10 + x}{2}$.

Решаем его: $14 = 10 + x$, откуда $x = 14 - 10 = 4$.

Ответ: $x=4$.

е)

Отрезок длиной 12 соединяет середины боковых сторон трапеции и является ее средней линией. Основания трапеции равны 15 и 𝑥.

Записываем уравнение: $12 = \frac{15 + x}{2}$.

Решаем его: $24 = 15 + x$, откуда $x = 24 - 15 = 9$.

Ответ: $x=9$.

ж)

Боковые стороны трапеции разделены на 4 равных отрезка. Это означает, что параллельные отрезки 𝑦, 𝑥 и 𝑧 делят высоту трапеции на 4 равные части. Длины этих отрезков вместе с основаниями образуют арифметическую прогрессию. Мы можем найти их последовательно, используя свойство средней линии.

Отрезок 𝑥 является средней линией всей трапеции с основаниями 8 и 16.$x = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Отрезок 𝑦 является средней линией верхней трапеции с основаниями 8 и 𝑥.$y = \frac{8 + x}{2} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Отрезок 𝑧 является средней линией нижней трапеции с основаниями 𝑥 и 16.$z = \frac{x + 16}{2} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Ответ: $x=12, y=10, z=14$.

з)

Эта задача аналогична предыдущей. Боковые стороны трапеции разделены на 4 равных отрезка. Основания равны 21 и 33. Отрезки 𝑦, 𝑥, 𝑧 параллельны основаниям.

Находим 𝑥 как среднюю линию большой трапеции:$x = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

Находим 𝑦 как среднюю линию трапеции с основаниями 21 и 𝑥:$y = \frac{21 + x}{2} = \frac{21 + 27}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Находим 𝑧 как среднюю линию трапеции с основаниями 𝑥 и 33:$z = \frac{x + 33}{2} = \frac{27 + 33}{2} = \frac{60}{2} = 30$.

Ответ: $x=27, y=24, z=30$.

и)

Дана прямоугольная трапеция ABCD (с прямым углом A). MN - средняя линия трапеции. Дано: $AD = 40, MN = 32$.

1. Найдем длину верхнего основания BC, используя формулу средней линии:$MN = \frac{BC + AD}{2} \Rightarrow 32 = \frac{BC + 40}{2}$.$64 = BC + 40 \Rightarrow BC = 24$.

2. Проведем высоту CH из точки C к основанию AD (точка H лежит на AD). Так как AB - высота трапеции, четырехугольник ABCH является прямоугольником, поэтому $AH = BC = 24$.

3. Найдем 𝑥. Отрезок 𝑥 на рисунке соответствует длине отрезка HD.$x = HD = AD - AH = 40 - 24 = 16$.

4. Найдем 𝑦. Пусть средняя линия MN пересекает высоту CH в точке P. Отрезок 𝑦 на рисунке соответствует длине отрезка PN. Так как MN - средняя линия трапеции, а PN - ее часть в треугольнике CHD, то PN является средней линией треугольника CHD (поскольку N - середина CD и PN параллельна HD).Следовательно, $y = PN = \frac{HD}{2} = \frac{x}{2}$.$y = \frac{16}{2} = 8$.Для проверки можно найти 𝑦 через длины: $MN = MP + PN$. MP - это часть средней линии, лежащая в прямоугольнике ABCH, поэтому $MP = BC = 24$.$y = PN = MN - MP = 32 - 24 = 8$.

Ответ: $x=16, y=8$.

к)

Задача решается аналогично предыдущей. Дана прямоугольная трапеция ABCD с $AD = 20$ и средней линией $MN = 15$.

1. Найдем длину верхнего основания BC:$MN = \frac{BC + AD}{2} \Rightarrow 15 = \frac{BC + 20}{2}$.$30 = BC + 20 \Rightarrow BC = 10$.

2. Проведем высоту CH к основанию AD. В прямоугольнике ABCH сторона $AH = BC = 10$.

3. Найдем 𝑥:$x = HD = AD - AH = 20 - 10 = 10$.

4. Найдем 𝑦. Отрезок 𝑦 является средней линией треугольника CHD.$y = PN = \frac{HD}{2} = \frac{x}{2}$.$y = \frac{10}{2} = 5$.Проверка через разность длин: $y = MN - BC = 15 - 10 = 5$.

Ответ: $x=10, y=5$.