Номер 12, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

12. Найдите неизвестные элементы:

а) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

4, 4, 6, $x$

б) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

8, 8, $x$, 11

в) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

4, 3, $x$, 6

г) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

3, 2, 9, $x$

д) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

4, 6, 5, $x$

е) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

8, 10, 6, $x$

ж) $m \parallel n \parallel k$ $x-?, y-?$

8, $y$, 5, 6, 2, $x$

з) $m \parallel n \parallel k$ $x-?, y-?$

$y$, $x$, 3, 6, 6, 4

и) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

12, 10, 8, $x$

к) $m \parallel n \parallel k$ $x-?$

6, 8, 5, $x$

а)

По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В данном случае прямые m, n и k параллельны. Составим пропорцию:

$ \frac{4}{4} = \frac{6}{x} $

$ 1 = \frac{6}{x} $

$ x = 6 $

Ответ: x = 6.

б)

Аналогично пункту а), используем теорему о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые m, n, k пересекают две другие прямые (трансверсали). Отрезки, отсекаемые на одной трансверсали, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой.

$ \frac{8}{8} = \frac{x}{11} $

$ 1 = \frac{x}{11} $

$ x = 11 $

Ответ: x = 11.

в)

Здесь параллельные прямые m, n, k пересекают две вертикальные трансверсали. Применим теорему Фалеса для отрезков, отсекаемых на этих трансверсалях.

$ \frac{4}{3} = \frac{x}{6} $

$ x = \frac{4 \cdot 6}{3} $

$ x = \frac{24}{3} $

$ x = 8 $

Ответ: x = 8.

г)

Снова применяем теорему о пропорциональных отрезках для параллельных прямых m, n, k и двух вертикальных трансверсалей.

$ \frac{3}{2} = \frac{9}{x} $

$ 3x = 2 \cdot 9 $

$ 3x = 18 $

$ x = 6 $

Ответ: x = 6.

д)

Используем теорему о пропорциональных отрезках.

$ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} $

$ 4x = 6 \cdot 5 $

$ 4x = 30 $

$ x = \frac{30}{4} = 7.5 $

Ответ: x = 7.5.

е)

Применяем ту же теорему.

$ \frac{8}{10} = \frac{6}{x} $

$ 8x = 10 \cdot 6 $

$ 8x = 60 $

$ x = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5 $

Ответ: x = 7.5.

ж)

Здесь необходимо найти две неизвестные, x и y. Сначала найдем y, используя теорему о пропорциональных отрезках для двух наклонных трансверсалей.

$ \frac{8}{y} = \frac{5}{6} $

$ 5y = 8 \cdot 6 $

$ 5y = 48 $

$ y = \frac{48}{5} = 9.6 $

Теперь найдем x. Отношение отрезков, отсекаемых тремя трансверсалями на одной параллельной прямой, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на другой параллельной прямой. Это также равно отношению соответствующих отрезков на трансверсалях между этими параллельными прямыми. Таким образом, отношение отрезков 2 и x на прямой n равно отношению отрезков 8 и 5 на трансверсалях между прямыми m и n.

$ \frac{2}{x} = \frac{8}{5} $

$ 8x = 2 \cdot 5 $

$ 8x = 10 $

$ x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 $

Ответ: x = 1.25, y = 9.6.

з)

Трансверсали пересекаются, образуя подобные треугольники. Пусть точка пересечения трансверсалей – O. Треугольник с вершиной O и сторонами на прямой k подобен треугольнику с вершиной O и сторонами на прямой n. Отношение их соответственных сторон равно. Секущие отсекают на левой трансверсали отрезки x и 6 (до точки О), а на правой – 6 и 4 (до точки О).

$ \frac{x+6}{6} = \frac{6+4}{4} $

$ \frac{x+6}{6} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $

$ 2(x+6) = 6 \cdot 5 $

$ 2x + 12 = 30 $

$ 2x = 18 $

$ x = 9 $

Теперь найдем y по теореме о пропорциональных отрезках для прямых m, n, k.

$ \frac{y}{x} = \frac{3}{6} $

$ \frac{y}{9} = \frac{1}{2} $

$ y = \frac{9}{2} = 4.5 $

Ответ: x = 9, y = 4.5.

и)

Применяем теорему о пропорциональных отрезках для параллельных прямых m, n, k и двух пересекающихся трансверсалей.

$ \frac{12}{10} = \frac{8}{x} $

$ 12x = 10 \cdot 8 $

$ 12x = 80 $

$ x = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $

Переменная y в условии задачи упомянута, но на схеме отсутствует.

Ответ: x = $ 6 \frac{2}{3} $.

к)

Используем теорему о пропорциональных отрезках для двух трансверсалей.

$ \frac{6}{8} = \frac{5}{x} $

$ 6x = 8 \cdot 5 $

$ 6x = 40 $

$ x = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $

Переменная y в условии задачи упомянута, но на схеме отсутствует.

Ответ: x = $ 6 \frac{2}{3} $.