Номер 7, страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

7. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса его острого угла $A$. На отрезки какой длины она делит сторону:

а) $BC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $AD = 11 \text{ см}$;

б) $CD$, если $AB = 7 \text{ см}$, $AD = 2 \text{ см}$?

а)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AK$ острого угла $A$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$.

По определению биссектрисы, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых.

Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AK$, поэтому они равны: $\angle DAK = \angle BKA$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла ($\angle BAK$ и $\angle BKA$) равны, то треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BK$.

По условию задачи, $AB = 4$ см. Значит, длина отрезка $BK$ также равна 4 см: $BK = 4$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. По условию, $AD = 11$ см, следовательно, $BC = 11$ см.

Точка $K$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BK$ и $KC$. Длину отрезка $KC$ можно найти как разность длин $BC$ и $BK$:

$KC = BC - BK = 11 \text{ см} - 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Таким образом, биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 4 см и 7 см.

Ответ: на отрезки 4 см и 7 см.

б)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AL$ острого угла $A$, где точка $L$ лежит на стороне $CD$. (Примечание: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$, а не $BC$, когда боковая сторона $AB$ длиннее прилежащей стороны $AD$).

По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle DAL$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $AL$ является секущей для этих параллельных прямых.

Углы $\angle BAL$ и $\angle ALD$ (или $\angle ALC$) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AL$, поэтому они равны: $\angle BAL = \angle ALD$.

Из равенств $\angle BAL = \angle DAL$ и $\angle BAL = \angle ALD$ следует, что $\angle DAL = \angle ALD$.

Рассмотрим треугольник $ADL$. Так как два его угла ($\angle DAL$ и $\angle ALD$) равны, то треугольник $ADL$ является равнобедренным с основанием $AL$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $AD = DL$.

По условию задачи, $AD = 2$ см. Следовательно, длина отрезка $DL$ также равна 2 см: $DL = 2$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB$. По условию, $AB = 7$ см, следовательно, $CD = 7$ см.

Точка $L$ делит сторону $CD$ на два отрезка: $CL$ и $DL$. Длину отрезка $CL$ можно найти как разность длин $CD$ и $DL$:

$CL = CD - DL = 7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Таким образом, биссектриса угла $A$ делит сторону $CD$ на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: на отрезки 2 см и 5 см.