Номер 5, страница 160 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

5. Найдите неизвестные элементы параллелограмма:

a)

$110^\circ$

$7$

$10$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

$P - ?$

б)

$27$

$x$

$72^\circ$

$P = 88$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

$x - ?$

в)

$2x$

$x$

$67^\circ$

$P = 114$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

$x - ?$

г)

$x$

$0,5x$

$111^\circ$

$P = 78$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

$x - ?$

д)

$y$

$x$

$4\alpha$

$\alpha$

$P = 36$

$x + y - ?$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

е)

$y$

$x$

$2\alpha$

$\alpha$

$x + y = 23$

$P - ?$

$\alpha - ?$

$\beta - ?$

ж)

$x$

$4$

$6$

$BO = 4$

$OC = 6$

$P_{AOD} = 20$

$x - ?$

з)

$12$

$P_{ABCD} = 78$

$BO = 12$

$P_{ABD} - ?$

и)

$18$

$8$

$AK = 18$

$DK = 8$

$P_{ABCD} - ?$

к)

$34$

$14$

$BN = 34$

$CN = 14$

$P_{ABCD} - ?$

а) В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, угол $α$ равен углу, противолежащему ему, то есть $α = 110°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180°$, поэтому $β = 180° - 110° = 70°$. Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит его стороны равны 7 и 10. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны. $P = 2(7+10) = 2 \cdot 17 = 34$.
Ответ: $α = 110°$, $β = 70°$, $P = 34$.

б) Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. Подставим известные значения: $88 = 2(27+x)$. Решим уравнение: $44 = 27+x$, откуда $x = 44 - 27 = 17$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому угол $β$ равен углу, противолежащему ему, то есть $β = 72°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, следовательно, $α = 180° - 72° = 108°$.
Ответ: $α = 108°$, $β = 72°$, $x = 17$.

в) Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. Стороны равны $x$ и $2x$. Подставим значения: $114 = 2(x+2x)$. Решим уравнение: $114 = 2(3x)$, $114 = 6x$, откуда $x = 114 / 6 = 19$. Противолежащие углы в параллелограмме равны, поэтому $β = 67°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, поэтому $α = 180° - 67° = 113°$.
Ответ: $α = 113°$, $β = 67°$, $x = 19$.

г) Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. Стороны равны $x$ и $0,5x$. Подставим значения: $78 = 2(x+0,5x)$. Решим уравнение: $78 = 2(1,5x)$, $78 = 3x$, откуда $x = 78 / 3 = 26$. Противолежащие углы равны, поэтому $α = 111°$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, следовательно, $β = 180° - 111° = 69°$.
Ответ: $α = 111°$, $β = 69°$, $x = 26$.

д) Периметр параллелограмма $P = 2(x+y)$. Из условия $P=36$, получаем $36 = 2(x+y)$, откуда $x+y = 18$. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$. На рисунке углы $α$ и $4α$ являются соседними, значит $α + 4α = 180°$. Решим уравнение: $5α = 180°$, откуда $α = 36°$. Угол $β$ является противолежащим углу $4α$, значит $β = 4α = 4 \cdot 36° = 144°$.
Ответ: $x+y = 18$, $α = 36°$, $β = 144°$.

е) Периметр параллелограмма $P = 2(x+y)$. По условию $x+y=23$, следовательно $P = 2 \cdot 23 = 46$. На рисунке $α$ и $β$ — соседние углы. Угол $β$ также обозначен как $2α$, то есть $β=2α$. Сумма соседних углов равна $180°$, поэтому $α+β = 180°$. Подставим $β=2α$: $α+2α = 180°$. Решим уравнение: $3α = 180°$, откуда $α = 60°$. Тогда $β = 2α = 2 \cdot 60° = 120°$.
Ответ: $P = 46$, $α = 60°$, $β = 120°$.

ж) В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC = 6$ и $DO = BO = 4$. Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит $AD = BC = x$. Периметр треугольника AOD равен сумме его сторон: $P_{AOD} = AO + OD + AD$. Подставим известные значения: $20 = 6 + 4 + AD$. Отсюда $AD = 20 - 10 = 10$. Так как $AD = x$, то $x=10$.
Ответ: $x = 10$.

з) Периметр параллелограмма $P_{ABCD} = 2(AB+AD)$. По условию $P_{ABCD} = 78$, значит $2(AB+AD) = 78$, откуда сумма смежных сторон $AB+AD = 39$. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому диагональ $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$. Периметр треугольника ABD равен $P_{ABD} = AB + AD + BD$. Подставляем найденные значения: $P_{ABD} = 39 + 24 = 63$.
Ответ: $P_{ABD} = 63$.

и) В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD = AK + KD = 18 + 8 = 26$. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $∠ABK = ∠KBC$. Поскольку $BC || AD$, углы $∠KBC$ и $∠AKB$ являются накрест лежащими при секущей $BK$, следовательно $∠KBC = ∠AKB$. Отсюда $∠ABK = ∠AKB$, а значит треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $BK$. Поэтому $AB = AK = 18$. Стороны параллелограмма равны 18 и 26. Периметр $P_{ABCD} = 2(AB+AD) = 2(18+26) = 2 \cdot 44 = 88$.
Ответ: $P_{ABCD} = 88$.

к) В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC = BN + NC = 34 + 14 = 48$. Так как $AN$ — биссектриса угла $A$, то $∠BAN = ∠NAD$. Поскольку $AD || BC$, углы $∠NAD$ и $∠BNA$ являются накрест лежащими при секущей $AN$, следовательно $∠NAD = ∠BNA$. Отсюда $∠BAN = ∠BNA$, а значит треугольник $ABN$ — равнобедренный с основанием $AN$. Поэтому $AB = BN = 34$. Стороны параллелограмма равны 34 и 48. Периметр $P_{ABCD} = 2(AB+BC) = 2(34+48) = 2 \cdot 82 = 164$.
Ответ: $P_{ABCD} = 164$.