Номер 374, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

374. Может ли в каком-нибудь прямоугольном треугольнике сумма синусов двух углов быть равной 1?

Прямоугольный треугольник с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Может ли сумма синусов двух углов быть равной 1?

Пусть углы прямоугольного треугольника будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставляя $\gamma = 90^\circ$, получаем $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta = 90^\circ$.

В геометрии под "треугольником" обычно подразумевается невырожденный треугольник, у которого все углы строго больше $0^\circ$. Следовательно, острые углы $\alpha$ и $\beta$ должны удовлетворять условиям $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные пары углов, сумма синусов которых может быть равна 1.

Случай 1: Сумма синусов двух острых углов ($\alpha$ и $\beta$).

Нам нужно проверить, может ли $\sin \alpha + \sin \beta = 1$.

Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем $\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

Таким образом, условие $\sin \alpha + \sin \beta = 1$ преобразуется в $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$.

Для того чтобы решить это уравнение, воспользуемся преобразованием суммы синуса и косинуса: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + 45^\circ)$.

Тогда уравнение принимает вид: $\sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ) = 1$.

Отсюда $\sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то аргумент $(\alpha + 45^\circ)$ находится в интервале $(45^\circ, 135^\circ)$.

В этом интервале функция $\sin x$ имеет значения, которые строго больше $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (то есть $\sin x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$).Единственные значения $x$ в интервале $[0^\circ, 180^\circ]$, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$ и $135^\circ$.

Если $\alpha + 45^\circ = 45^\circ$, то $\alpha = 0^\circ$. Это соответствует вырожденному треугольнику, так как один из углов равен $0^\circ$.

Если $\alpha + 45^\circ = 135^\circ$, то $\alpha = 90^\circ$. Это также соответствует вырожденному треугольнику, так как один из углов равен $0^\circ$ (другой острый угол $\beta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$).

Так как для невырожденного треугольника $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то значение $\alpha + 45^\circ$ будет строго в интервале $(45^\circ, 135^\circ)$. В этом интервале значение $\sin(\alpha + 45^\circ)$ всегда строго больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поэтому $\sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ)$ будет всегда строго больше $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$. Таким образом, $\sin \alpha + \sin \beta > 1$ для невырожденных треугольников.

Случай 2: Сумма синусов острого угла и прямого угла (например, $\alpha$ и $\gamma$).

Нам нужно проверить, может ли $\sin \alpha + \sin \gamma = 1$.

Так как $\gamma = 90^\circ$, то $\sin \gamma = \sin 90^\circ = 1$.

Условие становится $\sin \alpha + 1 = 1$.

Это приводит к $\sin \alpha = 0$.

Для невырожденного треугольника острый угол $\alpha$ должен быть строго больше $0^\circ$. В интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, значение $\sin \alpha$ всегда строго больше $0$. Следовательно, $\sin \alpha$ не может быть равен 0.

Таким образом, сумма синусов острого угла и прямого угла не может быть равна 1 в невырожденном прямоугольном треугольнике.

Случай 3: Сумма синусов другого острого угла и прямого угла ($\beta$ и $\gamma$).

Этот случай полностью аналогичен Случаю 2. Условие $\sin \beta + \sin \gamma = 1$ приводит к $\sin \beta = 0$, что также невозможно для острого угла в невырожденном треугольнике.

Исходя из рассмотрения всех возможных пар углов в невырожденном прямоугольном треугольнике, сумма синусов любых двух углов всегда будет строго больше 1.

Нет, не может.