Номер 371, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

371. Внутри данного треугольника $ABC$ найдите такую точку $X$, чтобы площади треугольников $ABX, BCX, ACX$ были равны.

Дано:

Треугольник $ABC$. Точка $X$ внутри треугольника $ABC$. Площади треугольников $ABX$, $BCX$, $ACX$ равны: $S_{ABX} = S_{BCX} = S_{ACX}$.

Найти:

Положение точки $X$.

Решение

Обозначим площади треугольников $ABX$, $BCX$, $ACX$ как $S_{ABX}$, $S_{BCX}$, $S_{ACX}$ соответственно.

По условию задачи, $S_{ABX} = S_{BCX} = S_{ACX}$.

Рассмотрим равенство площадей $S_{ACX} = S_{BCX}$. Эти два треугольника, $ACX$ и $BCX$, имеют общую вершину $C$. Пусть $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую отрезок $CX$. Пусть $h_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую отрезок $CX$. Тогда площади выражаются как $S_{ACX} = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_A$ и $S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_B$. Из равенства площадей $S_{ACX} = S_{BCX}$ следует, что $\frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_B$. Поскольку $CX$ является длиной отрезка и не равен нулю, мы можем сократить его, получив $h_A = h_B$. Это означает, что вершины $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей отрезок $CX$. Если две вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей через третью вершину и некоторую точку внутри треугольника, то эта прямая должна проходить через середину стороны, соединяющей эти две вершины. Следовательно, прямая $CX$ проходит через середину стороны $AB$. По определению, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, является медианой. Таким образом, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$.

Аналогично, рассмотрим равенство площадей $S_{ABX} = S_{ACX}$. Эти треугольники, $ABX$ и $ACX$, имеют общую вершину $A$. По тем же рассуждениям, прямая $AX$ должна проходить через середину стороны $BC$. Следовательно, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

И, наконец, рассмотрим равенство площадей $S_{BCX} = S_{ABX}$. Эти треугольники, $BCX$ и $ABX$, имеют общую вершину $B$. По тем же рассуждениям, прямая $BX$ должна проходить через середину стороны $AC$. Следовательно, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.

Поскольку точка $X$ должна удовлетворять всем трем условиям одновременно, она должна быть точкой пересечения всех трех медиан треугольника $ABC$. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром тяжести) треугольника.

Ответ: Точка $X$ является центроидом треугольника $ABC$.