Номер 366, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

366. Постройте (с помощью циркуля и линейки) треугольник по двум сторонам $a$, $b$ и медиане $m$, проведенной к третьей стороне.

Дано:

Две стороны треугольника $a$ и $b$, и медиана $m_c$ (обозначим ее как $m$), проведенная к третьей стороне.

Найти:

Построить треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки.

Решение:

Пусть искомый треугольник будет $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, и пусть медиана $CM$ проведена к стороне $AB$ (которую обозначим $c$). Таким образом, $CM = m$, а точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Для построения воспользуемся известным геометрическим приемом. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$. Следовательно, $MD = CM = m$, и общая длина отрезка $CD$ составит $2m$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой обеих диагоналей ($AM=MB$ по определению медианы, и $CM=MD$ по построению). Четырехугольник, у которого диагонали делятся точкой пересечения пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ADBC$ – параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны. Значит, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $DBC$. Мы знаем длины всех его сторон: $BC=a$, $BD=b$ и $CD=2m$. Такой треугольник можно однозначно построить, используя только циркуль и линейку.

Алгоритм построения:

1. Проведите произвольную прямую. На этой прямой отложите отрезок $CD$ длиной $2m$.

2. Найдите середину отрезка $CD$ и обозначьте ее точкой $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $CD$ или с помощью циркуля, отложив половину длины $CD$ от $C$ или $D$.

3. Из точки $C$ как центра проведите дугу (или окружность) радиусом $a$.

4. Из точки $D$ как центра проведите дугу (или окружность) радиусом $b$.

5. Точка пересечения этих двух дуг даст вершину $B$ вспомогательного треугольника $DBC$. Если дуги пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них, так как получившиеся треугольники будут конгруэнтны.

6. Соедините точки $C$, $B$ и $D$ отрезками, чтобы образовать треугольник $DBC$.

7. Теперь, зная точки $B$ и $M$, проведите прямую через эти две точки (луч $BM$).

8. Отложите на луче $BM$ от точки $M$ отрезок $MA$ такой же длины, как $BM$. Это означает, что точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $M$.

9. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как $BC=a$, $AC=b$ и $CM=m$ (по построению $M$ - середина $AB$, и $CM$ была продлена до $D$, а $CD=2m$, что делает $CM=m$).

Ответ: Треугольник $ABC$ построен по заданным сторонам $a$, $b$ и медиане $m$ к третьей стороне.