Номер 364, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

364. Найдите площадь равностороннего треугольника, если:

а) радиус описанной около него окружности равен 2 см;

б) радиус вписанной в него окружности равен $\sqrt{3}$ см.

a) радиус описанной около него окружности равен 2 см

Дано:

равносторонний треугольник

радиус описанной окружности $R = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

для равностороннего треугольника сторона $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = R\sqrt{3}$.

подставим известное значение $R$: $a = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

площадь равностороннего треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{(4 \cdot 3) \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{12 \sqrt{3}}{4}$

$S = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) радиус вписанной в него окружности равен $\sqrt{3}$ см.

Дано:

равносторонний треугольник

радиус вписанной окружности $r = \sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \cdot 0.01 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

для равностороннего треугольника сторона $a$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = 2r\sqrt{3}$.

подставим известное значение $r$: $a = 2(\sqrt{3})\sqrt{3} \text{ см}$.

$a = 2 \cdot 3 \text{ см}$.

$a = 6 \text{ см}$.

площадь равностороннего треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(6)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{36 \sqrt{3}}{4}$

$S = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $9\sqrt{3} \text{ см}^2$.