Номер 368, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

368. Разделите данный прямоугольник на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины.

Дано:

Дан прямоугольник.

Найти:

Разделить данный прямоугольник на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины.

Решение:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Для выполнения условия задачи выберем одну из его вершин, например, вершину $A$. Сторона, противоположная выбранной вершине $A$, — это сторона $CD$. Следующим шагом необходимо разделить сторону $CD$ на три равные части. Для этого можно измерить длину стороны $CD$ и разделить ее на три, либо использовать метод деления отрезка на $N$ равных частей с помощью линейки и циркуля. Пусть $P$ и $Q$ — точки деления на стороне $CD$ такие, что $DP = PQ = QC$. Теперь проведем два луча из выбранной вершины $A$ к этим двум точкам деления $P$ и $Q$. То есть, лучи $AP$ и $AQ$.

Таким образом, прямоугольник $ABCD$ будет разделен на три многоугольника: $\triangle ADP$, $\triangle APQ$ и $\triangle AQC$. Все эти многоугольники являются треугольниками. Докажем, что эти многоугольники являются равновеликими, то есть имеют равные площади. Площадь любого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для всех трех образованных треугольников ($\triangle ADP$, $\triangle APQ$, $\triangle AQC$) высота, проведенная из вершины $A$ к их основаниям (которые лежат на прямой, содержащей сторону $CD$), будет одинаковой. Эта высота равна длине стороны $AD$ (или $BC$) прямоугольника, так как $AD$ перпендикулярна $CD$. Обозначим эту высоту как $h$. Пусть длина стороны $CD$ равна $L$. По построению, мы разделили сторону $CD$ на три равные части, поэтому длины оснований треугольников равны: $DP = PQ = QC = \frac{L}{3}$.

Теперь вычислим площади каждого из треугольников:

Площадь $\Delta ADP = \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Площадь $\Delta APQ = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Площадь $\Delta AQC = \frac{1}{2} \cdot QC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Как видно из вычислений, площади всех трех треугольников равны между собой. Общая площадь прямоугольника $ABCD$ составляет $S_{ABCD} = L \cdot h$. Площадь каждого из полученных треугольников равна $S_{треугольника} = \frac{Lh}{6} = \frac{S_{ABCD}}{3}$. Таким образом, прямоугольник разделен на три равновеликих многоугольника (в данном случае, треугольника) с помощью двух лучей, исходящих из одной вершины.

Ответ:

Для разделения прямоугольника на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины, необходимо выбрать любую вершину прямоугольника. Затем следует найти сторону, противоположную выбранной вершине, и разделить эту сторону на три равные части. После этого провести два луча из выбранной вершины к двум точкам деления на противоположной стороне. В результате будут образованы три треугольника, площади которых будут равны одной трети от общей площади прямоугольника.