Номер 375, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

375. 1A) Запишите две различные формулы, выражающие площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$, гипотенузой $c$ и высотой $h$, проведенной к гипотенузе.

2A) В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 6$ см, $BM$ – медиана. Найдите тангенс угла $CBM$.

3B) Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

4B) Найдите длину наибольшей средней линии треугольника с вершинами в точках $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$.

5C) Участок земли имеет форму равнобедренной трапеции, большее основание которой равно 64 м, прилежащий к нему угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 14 м. Какова площадь этого участка? Ответ запишите в арах, с точностью до 0,1 а.

1A) Запишите две различные формулы, выражающие площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, гипотенузой c и высотой h, проведенной к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Также площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе: $S = \frac{1}{2}ch$.

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$ $S = \frac{1}{2}ch$

2A) В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 6$ см, $BM$ – медиана. Найдите тангенс угла $CBM$.

Дано: Прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) Гипотенуза $AB = 10$ см Катет $BC = 6$ см $BM$ - медиана к катету $AC$

Перевод в СИ: $AB = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$ $BC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти: $\text{tg}(\angle CBM)$

Решение: 1. Поскольку $\triangle ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$ и катетом $BC$, то $\angle C = 90^\circ$. Используем теорему Пифагора для нахождения длины катета $AC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 6^2 = 10^2$ $AC^2 + 36 = 100$ $AC^2 = 100 - 36$ $AC^2 = 64$ $AC = \sqrt{64} = 8$ см.

2. $BM$ - медиана, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Следовательно, $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$.

4. Тангенс угла $CBM$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{MC}{BC}$ $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{4}{6}$ $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{2}{3}$

3B) Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

Решение: Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон: $P$ - середина $AB$ $Q$ - середина $BC$ $R$ - середина $CD$ $S$ - середина $DA$

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, это $PR$ и $QS$. Необходимо доказать, что они делятся точкой пересечения пополам.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии треугольника, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $SR$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. По свойству средней линии треугольника, $SR \parallel AC$ и $SR = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $PQ \parallel SR$ и $PQ = SR$.

4. Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, $PQRS$ - параллелограмм.

5. Отрезки $PR$ и $QS$ являются диагоналями параллелограмма $PQRS$.

6. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки $PR$ и $QS$ делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Доказано.

4B) Найдите длину наибольшей средней линии треугольника с вершинами в точках $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$.

Дано: Вершины треугольника: $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$

Найти: Длину наибольшей средней линии.

Решение: 1. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Чтобы найти наибольшую среднюю линию, нужно найти самую длинную сторону треугольника.

2. Вычислим длины всех сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(-7-5)^2 + (6-(-3))^2}$ $AB = \sqrt{(-12)^2 + (9)^2}$ $AB = \sqrt{144 + 81}$ $AB = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(0-(-7))^2 + (6-6)^2}$ $BC = \sqrt{(7)^2 + (0)^2}$ $BC = \sqrt{49 + 0}$ $BC = \sqrt{49} = 7$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(0-5)^2 + (6-(-3))^2}$ $AC = \sqrt{(-5)^2 + (9)^2}$ $AC = \sqrt{25 + 81}$ $AC = \sqrt{106}$.

3. Сравним длины сторон: $AB = 15$ $BC = 7$ $AC = \sqrt{106} \approx 10.29$.

Наибольшая сторона - $AB = 15$.

4. Длина наибольшей средней линии равна половине длины самой длинной стороны: $L_{\text{max}} = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5$.

Ответ: $7.5$

5C) Участок земли имеет форму равнобедренной трапеции, большее основание которой равно 64 м, прилежащий к нему угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 14 м. Какова площадь этого участка? Ответ запишите в арах, с точностью до 0,1 а.

Дано: Трапеция - равнобедренная. Большее основание $a = 64$ м. Угол при большем основании $\alpha = 60^\circ$. Боковая сторона $c = 14$ м.

Найти: Площадь трапеции $S$ в арах, с точностью до 0,1 а.

Решение: 1. Обозначим вершины трапеции $ABCD$, где $AB$ - большее основание, $CD$ - меньшее основание. Опустим высоты $DH$ и $CK$ из вершин $D$ и $C$ на большее основание $AB$.

2. В равнобедренной трапеции отрезки $AH$ и $KB$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Угол $\angle A = 60^\circ$, гипотенуза $AD = c = 14$ м.

3. Найдем высоту $h$ трапеции (отрезок $DH$): $h = DH = AD \cdot \sin(\angle A) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ м.

4. Найдем отрезок $AH$: $AH = AD \cdot \cos(\angle A) = 14 \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ м.

5. Зная $AH$, мы можем найти меньшее основание $b$ (отрезок $CD$ или $HK$). В равнобедренной трапеции $HK = CD = AB - 2 \cdot AH$. $b = CD = 64 - 2 \cdot 7 = 64 - 14 = 50$ м.

6. Теперь у нас есть оба основания ($a=64$ м, $b=50$ м) и высота ($h=7\sqrt{3}$ м). Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ $S = \frac{64+50}{2} \cdot 7\sqrt{3}$ $S = \frac{114}{2} \cdot 7\sqrt{3}$ $S = 57 \cdot 7\sqrt{3}$ $S = 399\sqrt{3}$ м$^2$.

7. Вычислим приближенное значение: $\sqrt{3} \approx 1.73205$. $S \approx 399 \cdot 1.73205 \approx 691.08995$ м$^2$.

8. Переведем площадь из квадратных метров в ары. $1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$. $S_{\text{ары}} = \frac{S_{\text{м}^2}}{100} = \frac{691.08995}{100} \approx 6.9108995$ аров.

9. Округлим ответ до 0,1 ара: $6.9$ аров.

Ответ: $6.9$ а