Номер 370, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

370. Окружность радиуса 4 см касается стороны и продолжений двух других сторон равностороннего треугольника. Найдите его площадь.

Дано:

Радиус вневписанной окружности равностороннего треугольника $r_a = 4$ см.

Перевод в СИ:

$r_a = 4$ см $ = 0.04$ м

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной окружностью. В данном случае, треугольник является равносторонним.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус вневписанной окружности $r_a$ связан со стороной $a$ следующей формулой:

$r_a = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Эта формула также соответствует высоте $h$ равностороннего треугольника.

Нам дан радиус вневписанной окружности $r_a = 4$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения стороны $a$:

$4 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Выразим сторону $a$:

$a \sqrt{3} = 4 \cdot 2$

$a \sqrt{3} = 8$

$a = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ см

Теперь, когда мы знаем сторону равностороннего треугольника, мы можем найти его площадь $S$. Формула для площади равностороннего треугольника со стороной $a$ выглядит так:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение $a$:

$S = \frac{\left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{8^2 (\sqrt{3})^2}{3^2} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{64 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{64}{3} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{64 \sqrt{3}}{3 \cdot 4}$

$S = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Площадь треугольника составляет $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ см$^2$.