Номер 373, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

373. а) Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону AC на части $AD=m, DC=n$. Докажите, используя площади, что $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

б) Площадь $\triangle ABC$ равна $75 \text{ см}^2$, известно, что $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$, $BD$ – биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольника $ABD$.

а)

Дано:

Треугольник $ABC$, $BD$ - биссектриса угла $B$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$.

$AD = m$, $DC = n$.

Найти:

Доказать, что $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$. У этих двух треугольников одна и та же высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Обозначим эту высоту через $h_B$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Тогда площадь треугольника $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_B$.

Площадь треугольника $\triangle DBC$ равна $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_B$.

Разделим $S_{ABD}$ на $S_{DBC}$: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot m \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot n \cdot h_B} = \frac{m}{n}$ (1)

Теперь рассмотрим площади этих же треугольников, используя формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$, где $a$ и $b$ - стороны, а $C$ - угол между ними.

Так как $BD$ - биссектриса угла $B$, то $\angle ABD = \angle DBC$. Обозначим этот угол через $\alpha$. То есть $\angle ABD = \angle DBC = \alpha$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin\alpha$.

Площадь треугольника $\triangle DBC$ равна $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle DBC) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\alpha$.

Разделим $S_{ABD}$ на $S_{DBC}$: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\alpha} = \frac{AB}{BC}$ (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что: $\frac{m}{n} = \frac{AB}{BC}$

Перегруппируем члены для получения искомого выражения: $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Дано:

Площадь $\triangle ABC$, $S_{ABC} = 75 \text{ см}^2$.

Отношение сторон $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$.

$BD$ - биссектриса треугольника $ABC$.

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 75 \text{ см}^2 = 75 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 75 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0075 \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь треугольника $ABD$, $S_{ABD}$.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника (доказанному в пункте а)), биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника.

Следовательно, для биссектрисы $BD$ в треугольнике $ABC$ верно: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$

Подставляем известное отношение сторон: $\frac{AD}{DC} = \frac{2}{3}$

Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$. Если два треугольника имеют одинаковую высоту, то их площади относятся как длины их оснований.

Следовательно: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{2}{3}$

Из этого соотношения выразим $S_{DBC}$: $S_{DBC} = \frac{3}{2} S_{ABD}$

Общая площадь треугольника $ABC$ складывается из площадей $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$: $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC}$

Подставим известные значения и выражение для $S_{DBC}$: $75 = S_{ABD} + \frac{3}{2} S_{ABD}$

Суммируем члены с $S_{ABD}$: $75 = \left(1 + \frac{3}{2}\right) S_{ABD}$

$75 = \left(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}\right) S_{ABD}$

$75 = \frac{5}{2} S_{ABD}$

Теперь найдем $S_{ABD}$: $S_{ABD} = 75 \cdot \frac{2}{5}$

$S_{ABD} = \frac{150}{5}$

$S_{ABD} = 30 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь треугольника $ABD$ равна $30 \text{ см}^2$.