Номер 362, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

362. В треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $MN$, параллельная $AC$. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь трапеции $AMNC$?

Дано:

Треугольник $ABC$.

$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в виде геометрических соотношений и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь трапеции $AMNC$, т.е. найти отношение $\frac{S_{AMNC}}{S_{ABC}}$.

Решение:

По определению средней линии треугольника, $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ является серединой $BC$.

Также по свойству средней линии, $MN$ параллельна $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Рассмотрим треугольник $BMN$ и треугольник $BAC$. Поскольку $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (общий угол $B$, и $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон:

$k = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$

Так как $M$ — середина $AB$, то $BM = \frac{1}{2}BA$. Следовательно, $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Из этого следует, что площадь треугольника $BMN$ составляет одну четвертую часть площади треугольника $BAC$:

$S_{BMN} = \frac{1}{4} S_{BAC}$

Площадь трапеции $AMNC$ можно найти как разность площади большого треугольника $BAC$ и площади маленького треугольника $BMN$:

$S_{AMNC} = S_{BAC} - S_{BMN}$

Подставим выражение для $S_{BMN}$:

$S_{AMNC} = S_{BAC} - \frac{1}{4} S_{BAC}$

$S_{AMNC} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) S_{BAC}$

$S_{AMNC} = \frac{3}{4} S_{BAC}$

Таким образом, площадь трапеции $AMNC$ составляет $\frac{3}{4}$ площади треугольника $ABC$.

Ответ:

Площадь трапеции $AMNC$ составляет $\frac{3}{4}$ части площади треугольника $ABC$.