Номер 355, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

355. Разделите равнобедренную трапецию на две части так, чтобы из них можно было составить:

а) треугольник;

б) прямоугольник.

Решение

а) треугольник

Для того чтобы из двух частей равнобедренной трапеции составить треугольник, можно применить следующую конструкцию:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Стороны $AB$ и $CD$ равны.

2. Найдите середину $M$ одной из непараллельных сторон, например, стороны $CD$.

3. Проведите прямую через вершину $B$ и точку $M$ до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $P$.

4. Отрезок $BM$ делит трапецию на две части: треугольник $BCM$ и четырехугольник $ABMD$.

5. Рассмотрим треугольники $BCM$ и $PDM$:

• Сторона $CM$ равна стороне $MD$ (по построению, так как $M$ — середина $CD$).
• Углы $\angle CMB$ и $\angle DMP$ равны как вертикальные углы.
• Углы $\angle MCB$ и $\angle MDP$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ (продолжение $AD$) и секущей $CD$.

6. Таким образом, треугольник $BCM$ равен треугольнику $PDM$. Если перенести (повернуть на 180 градусов вокруг точки $M$) треугольник $BCM$ так, чтобы он занял место треугольника $PDM$, то исходная трапеция $ABCD$, состоящая из частей $BCM$ и $ABMD$, превратится в треугольник $ABP$. Площадь треугольника $ABP$ будет равна площади трапеции $ABCD$.

Ответ: Разрезать трапецию по отрезку, соединяющему одну из вершин меньшего основания с серединой одной из непараллельных сторон. Полученный при этом треугольник (например, $\triangle BCM$) перенести и приложить к другой части трапеции так, чтобы он образовал один большой треугольник (например, $\triangle ABP$).

б) прямоугольник

Для того чтобы из двух частей равнобедренной трапеции составить прямоугольник, можно использовать следующую конструкцию:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$. Стороны $AB$ и $CD$ равны.

2. Проведите высоту из вершины $B$ к основанию $AD$, обозначив точку пересечения $E$.

3. Проведите высоту из вершины $C$ к основанию $AD$, обозначив точку пересечения $F$.

4. Разрежем трапецию по высоте $BE$. Таким образом, трапеция разделена на две части: прямоугольный треугольник $ABE$ и прямоугольную трапецию $EBCD$.

5. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то прямоугольные треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$ (полученный при опускании высоты $CF$) конгруэнтны.

6. Чтобы составить прямоугольник, необходимо взять прямоугольный треугольник $ABE$ и перенести его (путем параллельного переноса) в такое положение, чтобы он совместился с треугольником $DCF$. То есть, сторона $BE$ совместится со стороной $CF$, а вершина $A$ совместится с вершиной $D$.

7. После переноса треугольник $ABE$ займет место треугольника $DCF$. Исходная трапеция состояла из $\triangle ABE$, прямоугольника $EBCF$ и $\triangle DCF$. После перемещения $\triangle ABE$ на место $\triangle DCF$, полученная фигура будет состоять из прямоугольной трапеции $EBCD$ и перемещенного треугольника, который теперь занимает место $\triangle DCF$. В совокупности это образует прямоугольник $EBCF$.

Ответ: Разрезать трапецию по одной из высот, опущенной из вершины меньшего основания на большее (например, $BE$). Полученный при этом прямоугольный треугольник ($ABE$) перенести и приложить к другой части трапеции (правосторонней прямоугольной трапеции $EBCD$) так, чтобы он заполнил место другого равновеликого прямоугольного треугольника ($DFC$), который является частью трапеции. В результате образуется прямоугольник.