Номер 352, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

352. a) В прямоугольном $\triangle ABC$ отрезок $CD$ – биссектриса прямого угла, $DK$ и $DL$ – перпендикуляры, проведенные к сторонам $AC$ и $CB$ соответственно. Докажите, что $CKDL$ – квадрат.

б) В $\triangle ABC$ $\angle B = 90^\circ$, $AB = BC$, $BO$ – медиана, на луче $BO$ отложен отрезок $OD = BO$. Докажите, что $ABCD$ – квадрат.

а)

Решение

Рассмотрим четырехугольник $CKDL$.

По условию, $\triangle ABC$ — прямоугольный, а $CD$ — биссектриса прямого угла. Это означает, что угол $\angle C = 90^\circ$.

Так как $CD$ является биссектрисой угла $\angle C$, она делит его на два равных угла: $\angle KCD = \angle LCD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Из условия $DK \perp AC$ следует, что $\angle DKC = 90^\circ$.

Из условия $DL \perp CB$ следует, что $\angle DLC = 90^\circ$.

В четырехугольнике $CKDL$ три угла являются прямыми: $\angle C = 90^\circ$, $\angle DKC = 90^\circ$, $\angle DLC = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, следовательно, четвертый угол $\angle KDL = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$.

Поскольку все углы четырехугольника $CKDL$ равны $90^\circ$, он является прямоугольником.

Теперь докажем, что этот прямоугольник является квадратом, показав равенство смежных сторон.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDK$ ($\angle DKC = 90^\circ$).

Угол $\angle KCD = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle KDC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как углы $\angle KCD = \angle KDC = 45^\circ$, треугольник $\triangle CDK$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CK = DK$.

Поскольку $CKDL$ является прямоугольником и его смежные стороны $CK$ и $DK$ равны, то $CKDL$ является квадратом.

Можно также использовать свойство биссектрисы угла: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла. Так как точка $D$ лежит на биссектрисе $CD$, а $DK$ и $DL$ — это перпендикуляры к сторонам угла, то $DK = DL$. Поскольку мы уже доказали, что $CK = DK$, то $CK = DK = DL$. Аналогично, в $\triangle CDL$, $\angle LCD = 45^\circ$ и $\angle DLC = 90^\circ$, откуда $\angle LDC = 45^\circ$, значит $CL = DL$. Таким образом, $CK = DK = DL = CL$, то есть все стороны равны, и все углы прямые. Следовательно, $CKDL$ — квадрат.

Ответ: Доказано, что $CKDL$ является квадратом.

б)

Решение

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$.

По условию, в $\triangle ABC$ угол $\angle B = 90^\circ$ и $AB = BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

$BO$ — медиана, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что $O$ является серединой отрезка $AC$.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы. Следовательно, $BO = AO = OC = \frac{1}{2}AC$.

По условию, на луче $BO$ отложен отрезок $OD = BO$. Поскольку $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой и $BO = OD$, точка $O$ является серединой отрезка $BD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую из диагоналей пополам ($O$ — середина $AC$, $O$ — середина $BD$). Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Теперь докажем, что этот параллелограмм является квадратом.

У параллелограмма $ABCD$ есть прямой угол $\angle B = 90^\circ$ (дано). Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

У прямоугольника $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC$ дано по условию). Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Таким образом, $ABCD$ является квадратом.

Можно также отметить, что $BD = BO + OD = BO + BO = 2 \cdot BO$. Так как $BO = \frac{1}{2}AC$, то $BD = 2 \cdot (\frac{1}{2}AC) = AC$. Поскольку диагонали параллелограмма $ABCD$ равны ($AC=BD$), он является прямоугольником. А так как у этого прямоугольника $AB=BC$, он является квадратом.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ является квадратом.