Номер 345, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

345. Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причем $CO = OA$, $\angle ABO = \angle CDO$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Дано:

Выпуклый четырехугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$CO = OA$

$\angle ABO = \angle CDO$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ – параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$.

1. Угол $\angle AOB$ и угол $\angle COD$ являются вертикальными углами. Известно, что вертикальные углы равны, следовательно, $\angle AOB = \angle COD$.

2. По условию задачи дано, что $CO = OA$.

3. Также по условию задачи дано, что $\angle ABO = \angle CDO$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$ мы имеем две пары равных углов ($\angle AOB = \angle COD$ и $\angle ABO = \angle CDO$) и по одной паре равных сторон, не заключенных между этими углами ($OA = OC$).

Согласно признаку равенства треугольников по двум углам и стороне (УУС или AAS), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае, мы используем вариант этого признака, где сторона не является прилежащей к обоим углам. То есть, если два угла и одна сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей стороне другого треугольника, то треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABO \cong \triangle CDO$.

Из равенства этих треугольников вытекает равенство их соответствующих сторон и углов:

1. Сторона $OB$ треугольника $\triangle ABO$ равна соответствующей стороне $OD$ треугольника $\triangle CDO$. То есть, $OB = OD$.

2. Угол $\angle OAB$ треугольника $\triangle ABO$ равен соответствующему углу $\angle OCD$ треугольника $\triangle CDO$. То есть, $\angle OAB = \angle OCD$.

Итак, мы имеем, что $OA = OC$ (дано по условию) и $OB = OD$ (доказано из равенства треугольников).

Это означает, что диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ точкой их пересечения $O$ делятся пополам.

По одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Также, из равенства углов $\angle OAB = \angle OCD$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, так как $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

Из равенства $\triangle ABO \cong \triangle CDO$ также следует, что $AB = CD$ (соответствующие стороны).

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны, то $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано.