Номер 346, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

346. Периметр параллелограмма 16 см, одна из его сторон на 2 см больше другой, а один из углов $150^\circ$. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к большей стороне, и его площадь.

Дано:

Периметр параллелограмма $P = 16 \text{ см}$

Одна сторона на $2 \text{ см}$ больше другой, т.е. если стороны $a$ и $b$, то $a = b + 2 \text{ см}$

Один из углов параллелограмма $\alpha = 150^\circ$

Перевод в СИ:

$P = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Разница сторон $2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту параллелограмма, проведенную к большей стороне, $h_a$

Площадь параллелограмма $S$

Решение:

1. Найдем длины сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Подставим известные значения:

$16 = 2(a+b)$

$a+b = 8$

Мы знаем, что $a = b+2$. Подставим это выражение в уравнение:

$(b+2)+b = 8$

$2b+2 = 8$

$2b = 8-2$

$2b = 6$

$b = 3 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $a$:

$a = b+2 = 3+2 = 5 \text{ см}$

Итак, стороны параллелограмма равны $5 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$. Большая сторона $a = 5 \text{ см}$.

2. Определим острый угол параллелограмма.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

Если один из углов равен $150^\circ$, то смежный с ним острый угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

3. Найдем высоту, проведенную к большей стороне.

Высота $h_a$, проведенная к большей стороне $a$, образует прямоугольный треугольник со стороной $b$ (смежной стороной) и острым углом $\beta = 30^\circ$. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h_a$ — катетом, противолежащим углу $\beta$.

Используем синус угла:

$h_a = b \cdot \sin(\beta)$

$h_a = 3 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$:

$h_a = 3 \cdot 0.5 = 1.5 \text{ см}$

4. Найдем площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае, основание - большая сторона $a$, а высота к ней - $h_a$.

$S = a \cdot h_a$

$S = 5 \text{ см} \cdot 1.5 \text{ см}$

$S = 7.5 \text{ см}^2$

Ответ:

Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна $1.5 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма равна $7.5 \text{ см}^2$.