Номер 351, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

351. Найдите периметр и площадь ромба $ABCD$, если серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$ и $BD = 8$ см.

Дано:

Ромб $ABCD$.

Серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$.

Диагональ $BD = 8$ см.

Перевод в систему СИ:

$BD = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Периметр $P_{ABCD}$.

Площадь $S_{ABCD}$.

Решение:

1. Рассмотрим ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = AD = a$.

2. Условие задачи гласит, что серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$. Пусть $M$ — середина стороны $AD$. Тогда линия $BM$ является этим серединным перпендикуляром. Это означает, что $BM \perp AD$ (по определению перпендикуляра) и $AM = MD$ (по определению середины).

3. Известно свойство серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, то расстояние от $B$ до $A$ равно расстоянию от $B$ до $D$. То есть $BA = BD$.

4. Мы знаем, что $BA = a$ (сторона ромба) и $BD = 8$ см (дано). Следовательно, $a = BD = 8$ см.

5. Таким образом, в треугольнике $ABD$ имеем $AB = AD = BD = 8$ см. Это означает, что треугольник $ABD$ является равносторонним.

6. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Периметр:

Периметр ромба равен учетверенной длине его стороны: $P = 4a$.

Подставим значение стороны $a = 8$ см:

$P = 4 \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$.

Переведем в систему СИ: $P = 4 \cdot 0.08 \text{ м} = 0.32 \text{ м}$.

Ответ: Периметр ромба $P_{ABCD} = 32 \text{ см}$ ($0.32 \text{ м}$).

Площадь:

Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — один из его углов. Мы уже определили, что сторона ромба $a = 8$ см и угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$S = (8 \text{ см})^2 \cdot \sin(60^\circ)$

$S = 64 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Для проверки, найдем площадь через длины диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Длина $BO$ равна половине длины диагонали $BD$: $BO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Длина стороны ромба $AB = 8$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AOB$: $AO^2 + BO^2 = AB^2$

$AO^2 + 4^2 = 8^2$

$AO^2 + 16 = 64$

$AO^2 = 64 - 16$

$AO^2 = 48$

$AO = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Длина второй диагонали $AC$ равна удвоенной длине $AO$: $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 8\sqrt{3} \text{ см}$

$S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Переведем в систему СИ: $S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 = 32\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 32\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0032\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь ромба $S_{ABCD} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$ ($0.0032\sqrt{3} \text{ м}^2$).