Номер 348, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

348. a) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, расстояние от точки O до стороны AD равно 2 см. Найдите площадь прямоугольника, если $\angle BAO = 60^{\circ}$.

б) Какой из прямоугольников с данной диагональю d имеет наибольшую площадь?

а)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно $h_O = 2 \text{ см}$.

Угол $\angle BAO = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_O = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

$\angle BAO = 60^\circ$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S_{ABCD}$.

Решение:

1. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на сторону $AD$. Тогда $OK = 2 \text{ см}$.

2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = BO = CO = DO$. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

3. По условию $\angle BAO = 60^\circ$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный с углом при основании $60^\circ$, то он является равносторонним. Значит, $AB = AO = BO$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Точка $O$ является серединой гипотенузы $BD$. Отрезок $OK$, перпендикулярный $AD$, параллелен стороне $AB$ (поскольку $AB \perp AD$ и $OK \perp AD$, то $OK \parallel AB$). По теореме о средней линии треугольника (или ее следствии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине и равна половине параллельной стороны. Таким образом, $OK$ является средней линией треугольника $ABD$ относительно стороны $AB$.

5. Из этого следует, что $OK = \frac{1}{2} AB$. Зная $OK = 2 \text{ см}$, находим $AB = 2 \cdot OK = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

6. Поскольку $\triangle AOB$ равносторонний, $AO = AB = 4 \text{ см}$. Длина диагонали прямоугольника $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора $BC^2 = AC^2 - AB^2$.

$BC^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

$BC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

8. Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б)

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S = xy$.

По теореме Пифагора, связывающей стороны прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю, имеем $x^2 + y^2 = d^2$.

Мы хотим максимизировать значение произведения $xy$ при фиксированной сумме квадратов $x^2 + y^2 = d^2$.

Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел $x^2$ и $y^2$: $\frac{x^2 + y^2}{2} \ge \sqrt{x^2y^2}$.

Подставим известное значение $x^2 + y^2 = d^2$: $\frac{d^2}{2} \ge \sqrt{(xy)^2}$.

Так как $x$ и $y$ — длины сторон, они являются положительными числами, поэтому $\sqrt{(xy)^2} = xy$.

Таким образом, получаем неравенство $xy \le \frac{d^2}{2}$.

Максимальное значение площади $S_{max} = \frac{d^2}{2}$ достигается, когда в неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим достигается равенство. Это происходит тогда и только тогда, когда $x^2 = y^2$. Поскольку $x$ и $y$ положительны, это означает $x = y$.

Следовательно, прямоугольник, у которого стороны равны ($x=y$), является квадратом.

Ответ: Квадрат.