Номер 344, страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

344. Найдите неизвестные стороны и диагональ $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB = 12 \text{ см}$, $BC = CD$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 135^\circ$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ выпуклый.
$AB = 12 \text{ см}$.
$BC = CD$.
$\angle C = 90^\circ$.
$\angle B = 105^\circ$.
$\angle D = 135^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Неизвестные стороны $BC$, $CD$, $AD$ и диагональ $BD$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $BC = CD$ и $\angle C = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$.
Значит, $\angle CBD = \angle CDB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
По теореме Пифагора для $\triangle BCD$ гипотенуза $BD$ связана со катетами $BC$ и $CD$ следующим образом: $BD^2 = BC^2 + CD^2$.
Так как $BC = CD$, то $BD^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$.
Отсюда $BD = \sqrt{2BC^2} = BC\sqrt{2}$.

Теперь найдем углы треугольника $ABD$.
Угол $\angle B = 105^\circ$ и $\angle CBD = 45^\circ$.
Тогда $\angle ABD = \angle B - \angle CBD = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$.
Угол $\angle D = 135^\circ$ и $\angle CDB = 45^\circ$.
Тогда $\angle ADB = \angle D - \angle CDB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$.
Мы имеем $AB = 12 \text{ см}$ (гипотенуза).
Угол $\angle ABD = 60^\circ$.
Угол $\angle ADB = 90^\circ$.
Таким образом, $\triangle ABD$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $D$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD = 180^\circ - \angle ADB - \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
$\triangle ABD$ - это прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Катет $BD$ лежит напротив угла $\angle BAD = 30^\circ$.
Следовательно, $BD = AB / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ см}$.

Теперь найдем сторону $AD$ в $\triangle ABD$.
Катет $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD = 60^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $AD = BD \cdot \tan(\angle ABD) = BD \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$.
Или, используя свойство $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ треугольника, катет напротив $60^\circ$ равен катету напротив $30^\circ$ умноженному на $\sqrt{3}$.
$AD = BD \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \text{ см}$.

Вернемся к треугольнику $BCD$.
Мы нашли $BD = 6 \text{ см}$.
Мы знаем, что $BD = BC\sqrt{2}$.
Значит, $BC\sqrt{2} = 6 \text{ см}$.
$BC = 6 / \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} / 2 = 3 \sqrt{2} \text{ см}$.
По условию $CD = BC$, поэтому $CD = 3 \sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ:

Неизвестные стороны:
$BC = 3\sqrt{2} \text{ см}$.
$CD = 3\sqrt{2} \text{ см}$.
$AD = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
Ответ: $BC = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $CD = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $AD = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Диагональ $BD$:
$BD = 6 \text{ см}$.
Ответ: $BD = 6 \text{ см}$.