Номер 337, страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

337. Сформулируйте определение, свойства и признаки квадрата.

Определение

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат является частным случаем прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами) и частным случаем ромба (ромб с прямыми углами).

Ответ:

Свойства

• Все стороны квадрата равны: $a = b = c = d$.

• Все углы квадрата прямые и равны $90^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

• Противоположные стороны квадрата параллельны.

• Диагонали квадрата равны между собой: $d_1 = d_2$.

• Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

• Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам (на $45^\circ$).

• Квадрат является правильным многоугольником.

• Периметр квадрата равен $P = 4a$, где $a$ — сторона квадрата.

• Площадь квадрата равна $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. Также площадь может быть вычислена как $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ — диагональ квадрата.

• Около квадрата можно описать окружность, и в квадрат можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают с точкой пересечения диагоналей квадрата.

Ответ:

Признаки

Параллелограмм является квадратом, если:

• Все его углы прямые и две смежные стороны равны (то есть является прямоугольником с равными смежными сторонами).

• Все его стороны равны и один из углов прямой (то есть является ромбом с прямым углом).

• Его диагонали равны и взаимно перпендикулярны.

• Его диагонали равны и являются биссектрисами углов.

• Он является прямоугольником, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

• Он является ромбом, у которого диагонали равны.

Ответ: