Номер 331, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

331.

1A) Какие из уравнений являются уравнениями прямых:

1) $y=2x$;

2) $3x-2y=7$;

3) $xy=4$;

4) $x^2+y=9$;

5) $x=0$;

6) $y=5$;

7) $2x-3xy+4=0$;

8) $\frac{3}{x}+\frac{4}{y}-5=0$?

2A) На единичной полуокружности с центром в начале координат даны точки $A(1; 0)$ и $B(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Найдите косинус угла $AOB$.

3B) Концы диаметра окружности - точки $A(-5; 6)$, $B(7; -4)$. Составьте уравнение этой окружности и найдите расстояние от начала координат до ее центра.

4B) Докажите, что четырехугольник с вершинами $A(-2; 0)$, $B(0; 4)$, $C(4; 2)$ и $D(2; -2)$ является квадратом.

5C) Постройте линию, заданную уравнением $x^2+y^2=4x$, и найдите на ней точку, ближайшую к точке $A(6; -3)$.

1A) Какие из уравнений являются уравнениями прямых:

Прямая в декартовой системе координат описывается линейным уравнением вида $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ — константы, и $A$, $B$ не равны нулю одновременно. Это означает, что переменные $x$ и $y$ должны быть в первой степени, и не должно быть произведений $xy$ или переменных в знаменателе.

Рассмотрим каждое уравнение:

1. $y = 2x$

   Это уравнение можно переписать как $2x - y = 0$. Это линейное уравнение первого порядка, поэтому оно является уравнением прямой.

2. $3x - 2y = 7$

   Это уравнение уже представлено в общем виде $Ax + By = C$. Это линейное уравнение первого порядка, поэтому оно является уравнением прямой.

3. $xy = 4$

   Это уравнение содержит произведение переменных $x$ и $y$, поэтому оно не является линейным и не описывает прямую. Это гипербола.

4. $x^2 + y = 9$

   Это уравнение содержит переменную $x$ во второй степени, поэтому оно не является линейным и не описывает прямую. Это парабола.

5. $x = 0$

   Это уравнение описывает вертикальную прямую, совпадающую с осью $Oy$. Это линейное уравнение.

6. $y = 5$

   Это уравнение описывает горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$. Это линейное уравнение.

7. $2x - 3xy + 4 = 0$

   Это уравнение содержит произведение переменных $x$ и $y$, поэтому оно не является линейным и не описывает прямую.

8. $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} - 5 = 0$

   Это уравнение содержит переменные в знаменателе (что эквивалентно отрицательным степеням, например, $x^{-1}$). После приведения к общему знаменателю оно примет вид $3y + 4x - 5xy = 0$, который содержит произведение $xy$. Поэтому оно не является линейным и не описывает прямую.

Ответ: Уравнениями прямых являются: 1) $y = 2x$, 2) $3x - 2y = 7$, 5) $x = 0$, 6) $y = 5$.

2A) На единичной полуокружности с центром в начале координат даны точки $A(1; 0)$ и $B \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Найдите косинус угла $AOB$.

Дано:

Центр координат $O(0; 0)$. Точка $A(1; 0)$. Точка $B \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Перевод в СИ: Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла $\angle AOB$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ воспользуемся формулой скалярного произведения: $\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}|}$

Вектор $\vec{OA}$ имеет координаты $(1 - 0; 0 - 0) = (1; 0)$.

Вектор $\vec{OB}$ имеет координаты $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 0; \frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{OB}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$. (Обе точки лежат на единичной окружности, что согласуется с условием "единичная полуокружность").

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$: $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (0) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle AOB) = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 \cdot 1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\cos(\angle AOB) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3B) Концы диаметра окружности - точки $A(-5; 6), B(7; -4)$. Составьте уравнение этой окружности и найдите расстояние от начала координат до ее центра.

Дано:

Точки, являющиеся концами диаметра окружности: $A(-5; 6)$ и $B(7; -4)$.

Перевод в СИ: Координаты являются безразмерными величинами. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

1. Уравнение окружности. 2. Расстояние от начала координат до центра окружности.

Решение:

1. **Составим уравнение окружности.**

Центр окружности $C(h; k)$ является серединой диаметра $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $h = \frac{x_A + x_B}{2}$ $k = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек $A$ и $B$: $h = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $k = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, центр окружности $C(1; 1)$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $C$ до любой из точек $A$ или $B$. Используем точку $A(-5; 6)$: $R = \sqrt{(x_A - h)^2 + (y_A - k)^2}$ $R = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (6 - 1)^2}$ $R = \sqrt{(-6)^2 + (5)^2}$ $R = \sqrt{36 + 25}$ $R = \sqrt{61}$

Уравнение окружности в общем виде: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$. Подставим найденные значения $h$, $k$ и $R$: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{61})^2$ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 61$.

2. **Найдем расстояние от начала координат до центра окружности.**

Начало координат $O(0; 0)$. Центр окружности $C(1; 1)$. Расстояние $OC$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2}$ $OC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2}$ $OC = \sqrt{1^2 + 1^2}$ $OC = \sqrt{1 + 1}$ $OC = \sqrt{2}$.

Ответ: Уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 61$. Расстояние от начала координат до центра окружности: $\sqrt{2}$.

4B) Докажите, что четырехугольник с вершинами $A(-2; 0), B(0; 4), C(4; 2)$ и $D(2; -2)$ является квадратом.

Дано:

Вершины четырехугольника: $A(-2; 0)$, $B(0; 4)$, $C(4; 2)$, $D(2; -2)$.

Перевод в СИ: Координаты являются безразмерными величинами. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом.

Решение:

Чтобы доказать, что четырехугольник является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и его диагонали равны (или, что все стороны равны и есть прямой угол).

1. **Вычислим длины сторон:** Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Длина стороны $CD$: $CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Длина стороны $DA$: $DA = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA = \sqrt{20}$. Это означает, что четырехугольник является ромбом.

2. **Вычислим длины диагоналей:**

Длина диагонали $AC$: $AC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.

Длина диагонали $BD$: $BD = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.

Диагонали равны: $AC = BD = \sqrt{40}$.

Так как все стороны четырехугольника равны и его диагонали равны, то этот четырехугольник является квадратом. (Ромб с равными диагоналями является квадратом).

Альтернативный способ (через углы): Найдем угловой коэффициент стороны $AB$: $k_{AB} = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$. Найдем угловой коэффициент стороны $BC$: $k_{BC} = \frac{2 - 4}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Поскольку $k_{AB} \cdot k_{BC} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Таким образом, четырехугольник является ромбом с прямым углом, что доказывает, что он является квадратом.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, поскольку все его стороны равны ($\sqrt{20}$) и его диагонали равны ($\sqrt{40}$).

5C) Постройте линию, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 4x$, и найдите на ней точку, ближайшую к точке $A(6; -3)$.

Дано:

Уравнение линии: $x^2 + y^2 = 4x$. Точка $A(6; -3)$.

Перевод в СИ: Координаты являются безразмерными величинами. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

1. Построить линию (определить ее тип и параметры). 2. Найти точку на линии, ближайшую к точке $A(6; -3)$.

Решение:

1. **Построим линию, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 4x$.**

Перепишем уравнение, выделив полный квадрат для $x$: $x^2 - 4x + y^2 = 0$ Для выделения полного квадрата к $x^2 - 4x$ нужно прибавить $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4$. Чтобы уравнение оставалось верным, 4 нужно прибавить и к правой части: $(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4$ $(x - 2)^2 + y^2 = 2^2$

Это уравнение окружности стандартного вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$, где $(h; k)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Следовательно, данная линия — это окружность с центром $C(2; 0)$ и радиусом $R = 2$.

2. **Найдем точку на окружности, ближайшую к точке $A(6; -3)$.**

Сначала найдем расстояние от центра окружности $C(2; 0)$ до точки $A(6; -3)$: $CA = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку расстояние от центра $C$ до точки $A$ ($CA = 5$) больше радиуса окружности ($R = 2$), точка $A$ находится вне окружности.

Точка на окружности, ближайшая к внешней точке $A$, лежит на отрезке, соединяющем центр окружности $C$ и внешнюю точку $A$. Эта ближайшая точка $P$ будет находиться на луче $CA$ на расстоянии $R$ от центра $C$.

Найдем вектор $\vec{CA}$: $\vec{CA} = (A_x - C_x; A_y - C_y) = (6 - 2; -3 - 0) = (4; -3)$.

Длина вектора $\vec{CA}$ уже найдена и равна 5.

Координаты точки $P(x_P; y_P)$ можно найти, перемещаясь от центра $C$ вдоль вектора $\vec{CA}$ на расстояние, равное радиусу $R$: $P = C + R \cdot \frac{\vec{CA}}{|\vec{CA}|}$ $x_P = C_x + R \cdot \frac{A_x - C_x}{|\vec{CA}|} = 2 + 2 \cdot \frac{4}{5} = 2 + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} + \frac{8}{5} = \frac{18}{5}$. $y_P = C_y + R \cdot \frac{A_y - C_y}{|\vec{CA}|} = 0 + 2 \cdot \frac{-3}{5} = -\frac{6}{5}$.

Таким образом, ближайшая точка $P$ имеет координаты $\left(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5}\right)$ или $(3.6; -1.2)$.

Ответ: Линия — это окружность с центром $C(2; 0)$ и радиусом $R=2$. Ближайшая к точке $A(6; -3)$ точка на этой окружности: $\left(\frac{18}{5}; -\frac{6}{5}\right)$.