Номер 325, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

325. Напишите уравнение окружности:

а) вписанной в треугольник с вершинами $(0; 0)$, $(3; 3\sqrt{3})$, $(6; 0)$;

б) описанной около треугольника с вершинами $(-5; -1)$, $(-1; -5)$, $(-1; -1)$.

Дано:

а) Треугольник с вершинами: $A=(0; 0)$, $B=(3; 3\sqrt{3})$, $C=(6; 0)$.

б) Треугольник с вершинами: $D=(-5; -1)$, $E=(-1; -5)$, $F=(-1; -1)$.

Найти:

а) Уравнение вписанной окружности.

б) Уравнение описанной окружности.

Решение:

а) вписанной в треугольник с вершинами (0; 0), (3; 3√3), (6; 0)

Обозначим вершины треугольника как $A=(0;0)$, $B=(3; 3\sqrt{3})$ и $C=(6;0)$.

Вычислим длины сторон треугольника:

Сторона $AB$ (обозначим $c$): $c = \sqrt{(3-0)^2 + (3\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$.

Сторона $BC$ (обозначим $a$): $a = \sqrt{(6-3)^2 + (0-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$.

Сторона $AC$ (обозначим $b$): $b = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Поскольку все стороны равны ($a=b=c=6$), данный треугольник является равносторонним.

Для равностороннего треугольника центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром тяжести (медианой) треугольника. Координаты центра $I(x_0, y_0)$ можно найти как среднее арифметическое координат вершин:

$x_0 = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{0 + 3 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

$y_0 = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 3\sqrt{3} + 0}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, центр вписанной окружности $I=(3; \sqrt{3})$.

Радиус вписанной окружности $r$ для равностороннего треугольника со стороной $L$ вычисляется по формуле $r = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Подставляем найденные значения $x_0=3$, $y_0=\sqrt{3}$ и $r=\sqrt{3}$:

$(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2$.

$(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 3$

б) описанной около треугольника с вершинами (-5; -1), (-1; -5), (-1; -1)

Обозначим вершины треугольника как $D=(-5;-1)$, $E=(-1;-5)$ и $F=(-1;-1)$.

Вычислим длины сторон треугольника:

Сторона $DF$: $DF = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4$.

Сторона $EF$: $EF = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.

Сторона $DE$: $DE = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Проверим тип треугольника. Заметим, что стороны $DF$ и $EF$ имеют одинаковую длину (4) и сходятся в вершине $F=(-1;-1)$.

Вектор $\vec{FD} = D - F = (-5 - (-1), -1 - (-1)) = (-4, 0)$.

Вектор $\vec{FE} = E - F = (-1 - (-1), -5 - (-1)) = (0, -4)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{FD} \cdot \vec{FE} = (-4)(0) + (0)(-4) = 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол $F$ является прямым (90°). Следовательно, треугольник $DEF$ - прямоугольный.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности (циркумцентр) находится в середине гипотенузы. Гипотенузой является сторона $DE$, так как она лежит напротив прямого угла $F$.

Найдем координаты середины гипотенузы $DE$: $O(x_0, y_0) = \left(\frac{x_D + x_E}{2}, \frac{y_D + y_E}{2}\right)$.

$x_0 = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$y_0 = \frac{-1 + (-5)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, центр описанной окружности $O=(-3; -3)$.

Радиус описанной окружности $R$ для прямоугольного треугольника равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{DE}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Тогда $R^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Подставляем найденные значения $x_0=-3$, $y_0=-3$ и $R^2=8$:

$(x - (-3))^2 + (y - (-3))^2 = 8$.

$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 8$.

Ответ: $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 8$