Номер 329, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

329. Докажите, используя прямоугольную систему координат, что, если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Дано:

Параллелограмм ABCD. Длины его диагоналей равны: $AC = BD$.

Найти:

Доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Решение:

1. Расположим параллелограмм ABCD в прямоугольной системе координат. Пусть вершина A находится в начале координат: $A=(0,0)$. Пусть вершина B лежит на положительной полуоси Ox: $B=(a,0)$, где $a>0$. Пусть координаты вершины D будут $D=(x_D, y_D)$. По свойству параллелограмма, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. $\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0) = (a,0)$. $\vec{DC} = C - D = (x_C - x_D, y_C - y_D)$. Из равенства векторов $(a,0) = (x_C - x_D, y_C - y_D)$ получаем: $x_C - x_D = a \Rightarrow x_C = x_D + a$. $y_C - y_D = 0 \Rightarrow y_C = y_D$. Таким образом, координаты вершин параллелограмма: $A=(0,0)$ $B=(a,0)$ $C=(x_D+a, y_D)$ $D=(x_D, y_D)$

2. Вычислим длины диагоналей AC и BD, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{((x_D+a)-0)^2 + (y_D-0)^2} = \sqrt{(x_D+a)^2 + y_D^2}$. Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(x_D-a)^2 + (y_D-0)^2} = \sqrt{(x_D-a)^2 + y_D^2}$.

3. По условию задачи, диагонали равны, то есть $AC = BD$. Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней: $AC^2 = BD^2$. $(x_D+a)^2 + y_D^2 = (x_D-a)^2 + y_D^2$.

4. Раскроем скобки и упростим уравнение: $x_D^2 + 2ax_D + a^2 + y_D^2 = x_D^2 - 2ax_D + a^2 + y_D^2$. Вычтем $x_D^2$, $a^2$ и $y_D^2$ из обеих частей уравнения: $2ax_D = -2ax_D$. Перенесем все члены в одну сторону: $2ax_D + 2ax_D = 0$. $4ax_D = 0$.

5. Поскольку $a$ - это длина стороны AB, $a \neq 0$. Для того чтобы произведение $4ax_D$ было равно нулю, необходимо, чтобы $x_D = 0$.

6. Интерпретация результата: Если $x_D = 0$, то координаты вершины D становятся $D=(0, y_D)$. Вектор $\vec{AB}$ лежит на оси Ox (его координаты $(a,0)$). Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $(0, y_D)$, что означает, что он лежит на оси Oy (если $y_D \neq 0$) или совпадает с A (если $y_D = 0$, что соответствует вырожденному случаю). Так как оси Ox и Oy перпендикулярны, то угол между сторонами AB и AD (т.е. угол DAB) равен $90^\circ$. По определению, параллелограмм, у которого один из углов равен $90^\circ$, является прямоугольником.

Ответ:

Доказано, что если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.