Номер 326, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

326. Даны точки O$(0; 0)$, B$(a; b)$ и C$(c; d)$. Какими должны быть координаты точки D, чтобы четырехугольник OBCD был параллелограммом?

Дано:

Даны координаты трех вершин четырехугольника: $O(0; 0)$, $B(a; b)$ и $C(c; d)$. Известно, что четырехугольник $OBCD$ является параллелограммом.

Найти:

Требуется найти координаты точки $D(x; y)$.

Решение:

Для того чтобы четырехугольник $OBCD$ был параллелограммом, должны выполняться его свойства. Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим диагонали $OC$ и $BD$.

Найдем координаты середины диагонали $OC$. Пусть $M$ - это середина отрезка $OC$. Формула для нахождения координат середины отрезка, заданного точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $x_M = \frac{x_1+x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$.

Для точки $O(0; 0)$ и точки $C(c; d)$ координаты середины диагонали $OC$ будут: $M_{x} = \frac{0+c}{2} = \frac{c}{2}$

$M_{y} = \frac{0+d}{2} = \frac{d}{2}$

Таким образом, координаты середины диагонали $OC$ равны $M_{OC} = (\frac{c}{2}; \frac{d}{2})$.

Теперь пусть координаты искомой точки $D$ равны $(x; y)$. Найдем координаты середины диагонали $BD$. Пусть $N$ - это середина отрезка $BD$.

Для точки $B(a; b)$ и точки $D(x; y)$ координаты середины диагонали $BD$ будут: $N_{x} = \frac{a+x}{2}$

$N_{y} = \frac{b+y}{2}$

Таким образом, координаты середины диагонали $BD$ равны $N_{BD} = (\frac{a+x}{2}; \frac{b+y}{2})$.

Поскольку $OBCD$ является параллелограммом, середины его диагоналей должны совпадать. Следовательно, $M_{OC} = N_{BD}$. Приравняем соответствующие координаты:

Для $x$-координат: $\frac{a+x}{2} = \frac{c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $a+x = c$

Выразим $x$: $x = c-a$

Для $y$-координат: $\frac{b+y}{2} = \frac{d}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $b+y = d$

Выразим $y$: $y = d-b$

Следовательно, координаты точки $D$ должны быть $(c-a; d-b)$.

Альтернативное решение с использованием векторов: В параллелограмме $OBCD$ противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что соответствующим векторам противоположных сторон равны. В данном случае, вектор $\vec{OB}$ должен быть равен вектору $\vec{DC}$. Координаты вектора $\vec{PQ}$ для точек $P(x_P, y_P)$ и $Q(x_Q, y_Q)$ вычисляются как $(x_Q-x_P, y_Q-y_P)$.

Найдем координаты вектора $\vec{OB}$ (от точки $O(0,0)$ до точки $B(a,b)$): $\vec{OB} = (a-0, b-0) = (a, b)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$ (от точки $D(x,y)$ до точки $C(c,d)$): $\vec{DC} = (c-x, d-y)$

Приравняем соответствующие компоненты векторов $\vec{OB}$ и $\vec{DC}$: $a = c-x$

Из этого уравнения выразим $x$: $x = c-a$

И для $y$-компоненты: $b = d-y$

Из этого уравнения выразим $y$: $y = d-b$

Оба метода приводят к одинаковым координатам для точки $D$.

Ответ:

Координаты точки $D$ должны быть $(c-a; d-b)$.