Номер 328, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Докажите, что для любой точки M прямоугольника ABCD верно равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Дано: Прямоугольник $ABCD$ и произвольная точка $M$.

Найти: Доказать, что $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Решение

1. Введем систему координат. Пусть вершина $A$ прямоугольника $ABCD$ находится в начале координат, то есть $A=(0,0)$.

Пусть стороны прямоугольника параллельны осям координат. Тогда координаты вершин будут:

$A=(0,0)$

$B=(L,0)$, где $L$ - длина стороны $AB$.

$C=(L,W)$, где $W$ - длина стороны $BC$.

$D=(0,W)$.

Пусть произвольная точка $M$ имеет координаты $(x,y)$. Данное доказательство будет верным для любой точки $M$ в плоскости, включая точки внутри или на границе прямоугольника.

2. Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до вершин прямоугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$:

$AM^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

$BM^2 = (x-L)^2 + (y-0)^2 = (x-L)^2 + y^2$

$CM^2 = (x-L)^2 + (y-W)^2$

$DM^2 = (x-0)^2 + (y-W)^2 = x^2 + (y-W)^2$

3. Вычислим левую часть доказываемого равенства $AM^2 + CM^2$:

$AM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2) + ((x-L)^2 + (y-W)^2)$

$AM^2 + CM^2 = x^2 + y^2 + (x^2 - 2Lx + L^2) + (y^2 - 2Wy + W^2)$

$AM^2 + CM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2Lx - 2Wy + L^2 + W^2$

4. Вычислим правую часть доказываемого равенства $BM^2 + DM^2$:

$BM^2 + DM^2 = ((x-L)^2 + y^2) + (x^2 + (y-W)^2)$

$BM^2 + DM^2 = (x^2 - 2Lx + L^2) + y^2 + x^2 + (y^2 - 2Wy + W^2)$

$BM^2 + DM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2Lx - 2Wy + L^2 + W^2$

5. Сравним полученные выражения для левой и правой частей равенства.

Левая часть: $AM^2 + CM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2Lx - 2Wy + L^2 + W^2$

Правая часть: $BM^2 + DM^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2Lx - 2Wy + L^2 + W^2$

Так как оба выражения идентичны, равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ верно для любой точки $M$ и любого прямоугольника $ABCD$.

Ответ: Равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ верно для любой точки $M$ прямоугольника $ABCD$.