Номер 324, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

324. Установите, что $\Delta ABC$ – равнобедренный и найдите координаты точки пересечения его медиан, если $A(-1; 0,5)$, $B(-7; 3)$, $C(-1; 5,5)$.

Дано:

Координаты вершин треугольника $ABC$:

$A(-1; 0.5)$

$B(-7; 3)$

$C(-1; 5.5)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами.

Найти:

1. Установить, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

2. Координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение:

Установите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный

Для того чтобы установить, является ли треугольник $ABC$ равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон. Если две стороны имеют одинаковую длину, то треугольник равнобедренный. Используем формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Вычислим длину стороны $AB$ с координатами $A(-1; 0.5)$ и $B(-7; 3)$:

$AB = \sqrt{(-7 - (-1))^2 + (3 - 0.5)^2}$

$AB = \sqrt{(-6)^2 + (2.5)^2}$

$AB = \sqrt{36 + 6.25}$

$AB = \sqrt{42.25}$

$AB = 6.5$

2. Вычислим длину стороны $BC$ с координатами $B(-7; 3)$ и $C(-1; 5.5)$:

$BC = \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (5.5 - 3)^2}$

$BC = \sqrt{(6)^2 + (2.5)^2}$

$BC = \sqrt{36 + 6.25}$

$BC = \sqrt{42.25}$

$BC = 6.5$

3. Вычислим длину стороны $AC$ с координатами $A(-1; 0.5)$ и $C(-1; 5.5)$:

$AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (5.5 - 0.5)^2}$

$AC = \sqrt{(0)^2 + (5)^2}$

$AC = \sqrt{0 + 25}$

$AC = \sqrt{25}$

$AC = 5$

Сравнивая длины сторон, видим, что $AB = BC = 6.5$. Так как две стороны треугольника равны, то $\triangle ABC$ является равнобедренным.

Ответ: $\triangle ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 6.5$.

Найдите координаты точки пересечения его медиан

Координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника $M(x_M, y_M)$ с вершинами $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ определяются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Подставим координаты вершин $A(-1; 0.5)$, $B(-7; 3)$ и $C(-1; 5.5)$:

$x_M = \frac{-1 + (-7) + (-1)}{3}$

$x_M = \frac{-9}{3}$

$x_M = -3$

$y_M = \frac{0.5 + 3 + 5.5}{3}$

$y_M = \frac{9}{3}$

$y_M = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ составляют $(-3; 3)$.

Ответ: Координаты точки пересечения медиан: $(-3; 3)$.