Номер 320, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

320. a) Найдите тангенс тупого угла параллелограмма, если синус его острого угла равен $0.6$.

б) Косинус одного из смежных углов равен $-0.6$. Найдите синус другого угла.

а)

Дано:

параллелограмм;

синус острого угла: $\sin \alpha = 0.6$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как представлены безразмерные тригонометрические значения.

Найти:

тангенс тупого угла $\tan \beta$.

Решение:

В параллелограмме сумма смежных углов (острого и тупого) равна $180^\circ$. Пусть острый угол равен $\alpha$, а тупой угол равен $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$, или $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Отсюда найдем $\cos \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.

Поскольку $\alpha$ - острый угол, его косинус должен быть положительным. Следовательно:

$\cos \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Теперь найдем тангенс острого угла:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Для тупого угла $\beta = 180^\circ - \alpha$ используем свойство тангенса углов, сумма которых равна $180^\circ$:

$\tan \beta = \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$.

Подставляем найденное значение $\tan \alpha$:

$\tan \beta = -0.75$.

Ответ: $-0.75$

б)

Дано:

два смежных угла $\gamma$ и $\delta$;

косинус одного угла: $\cos \gamma = -0.6$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как представлены безразмерные тригонометрические значения.

Найти:

синус другого угла $\sin \delta$.

Решение:

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Пусть данные углы будут $\gamma$ и $\delta$. Тогда $\gamma + \delta = 180^\circ$, что означает $\delta = 180^\circ - \gamma$.

Для синуса другого угла используем свойство синуса углов, сумма которых равна $180^\circ$:

$\sin \delta = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin \gamma$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$, чтобы найти $\sin \gamma$:

$\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.

Извлекая квадратный корень, получаем $\sin \gamma = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку $\cos \gamma = -0.6$, угол $\gamma$ является тупым (лежит во второй четверти координатной плоскости). Во второй четверти синус угла всегда положителен.

Таким образом, $\sin \gamma = 0.8$.

Следовательно, $\sin \delta = 0.8$.

Ответ: $0.8$