Номер 316, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

316. Найдите $tg \alpha$, если

a) $cos \alpha = 1$;

б) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin \alpha = 0,6$ и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

а)

Дано:

$\cos \alpha = 1$

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\cos \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha + (1)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + 1 = 1$

$\sin^2 \alpha = 0$

$\sin \alpha = 0$

Теперь найдем $\tan \alpha$ по определению:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим значения $\sin \alpha = 0$ и $\cos \alpha = 1$:

$\tan \alpha = \frac{0}{1}$

$\tan \alpha = 0$

Ответ: 0

б)

Дано:

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$

$\sin^2 \alpha = \frac{1}{4}$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin \alpha = \pm\frac{1}{2}$

Так как в условии не указано, в какой четверти находится угол $\alpha$, рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ (угол $\alpha$ находится во II четверти)

Найдем $\tan \alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Случай 2: $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ (угол $\alpha$ находится в III четверти)

Найдем $\tan \alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в)

Дано:

$\sin \alpha = 0,6$

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (угол $\alpha$ находится во II четверти)

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\cos \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\sin \alpha = 0,6$:

$(0,6)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$0,36 + \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0,36$

$\cos^2 \alpha = 0,64$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{0,64}$

$\cos \alpha = \pm0,8$

Поскольку угол $\alpha$ находится во II четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), значение $\cos \alpha$ должно быть отрицательным.

Следовательно, $\cos \alpha = -0,8$.

Теперь найдем $\tan \alpha$ по определению:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим значения $\sin \alpha = 0,6$ и $\cos \alpha = -0,8$:

$\tan \alpha = \frac{0,6}{-0,8}$

$\tan \alpha = -\frac{6}{8}$

$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$

$\tan \alpha = -0,75$

Ответ: -0,75