Номер 311, страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

311. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс углов: а) 120°; б) 135°; в) 150° и заполните таблицу.

$ \alpha $ $ 0^\circ $ $ 30^\circ $ $ 45^\circ $ $ 60^\circ $ $ 90^\circ $ $ 120^\circ $ $ 135^\circ $ $ 150^\circ $ $ 180^\circ $

$ \sin \alpha $

$ \cos \alpha $

$ \tg \alpha $

$ \ctg \alpha $

Дано:

Углы $\alpha$: $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$.

Найти:

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для заданных углов, а также заполнить соответствующую таблицу.

Решение:

Для определения значений тригонометрических функций углов $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ используются стандартные табличные значения. Для углов $120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$, которые находятся во второй четверти (или на границе), используются формулы приведения. В частности, для углов вида $(180^\circ - \alpha)$:

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$
• $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$

Используем формулы приведения для угла $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\operatorname{tg}(120^\circ) = \frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}(120^\circ) = \frac{\cos(120^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $\operatorname{tg}(120^\circ) = -\sqrt{3}$, $\operatorname{ctg}(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем формулы приведения для угла $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$:

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}(135^\circ) = \frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)} = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1$

$\operatorname{ctg}(135^\circ) = \frac{\cos(135^\circ)}{\sin(135^\circ)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$

Ответ: $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg}(135^\circ) = -1$, $\operatorname{ctg}(135^\circ) = -1$.

Используем формулы приведения для угла $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}(150^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{ctg}(150^\circ) = \frac{\cos(150^\circ)}{\sin(150^\circ)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$

Ответ: $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg}(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{ctg}(150^\circ) = -\sqrt{3}$.

Остальные значения определяются аналогично или являются стандартными табличными значениями. Полная таблица тригонометрических значений представлена ниже.

Ответ: