Номер 315, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

315. Найдите $\cos \alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$, если:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\sin \alpha = 0,5$;

в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) sin α = 0

Дано: $\sin \alpha = 0$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = 0$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (0)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0$

$\cos^2 \alpha = 1$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{1}$, то есть $\cos \alpha = \pm 1$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Если $\sin \alpha = 0$, то угол $\alpha$ может быть $0^\circ$ или $180^\circ$.

При $\alpha = 0^\circ$, $\cos \alpha = \cos 0^\circ = 1$.

При $\alpha = 180^\circ$, $\cos \alpha = \cos 180^\circ = -1$.

Ответ: $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$.

б) sin α = 0,5

Дано: $\sin \alpha = 0.5$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = 0.5$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (0.5)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0.25$

$\cos^2 \alpha = 0.75$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{0.75} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Поскольку $\sin \alpha = 0.5$ (положительное значение), угол $\alpha$ может находиться в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) или во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Если $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos \alpha$ должен быть положительным. $\alpha = 30^\circ$ ($\sin 30^\circ = 0.5$), тогда $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Если $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ должен быть отрицательным. $\alpha = 150^\circ$ ($\sin 150^\circ = 0.5$), тогда $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) sin α = √3/2

Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$

$\cos^2 \alpha = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Поскольку $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (положительное значение), угол $\alpha$ может находиться в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) или во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Если $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos \alpha$ должен быть положительным. $\alpha = 60^\circ$ ($\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$), тогда $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Если $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ должен быть отрицательным. $\alpha = 120^\circ$ ($\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$), тогда $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ или $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.