Номер 314, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

314. Найдите $ \sin \alpha $, где $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $, если:

а) $ \cos \alpha = 0,5 $

б) $ \cos \alpha = -1 $

в) $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

a) cos $\alpha = 0,5$

Дано:

$\cos \alpha = 0,5$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$), значение $\sin \alpha$ всегда неотрицательно ($\sin \alpha \geq 0$). Поэтому мы берем положительный корень:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = 0,5$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - (0,5)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,25}$

$\sin \alpha = \sqrt{0,75}$

Преобразуем полученное значение:

$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) cos $\alpha = -1$

Дано:

$\cos \alpha = -1$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Используем основное тригонометрическое тождество и тот факт, что для $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, $\sin \alpha \geq 0$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = -1$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - (-1)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 1}$

$\sin \alpha = \sqrt{0}$

$\sin \alpha = 0$

(Если $\cos \alpha = -1$, то угол $\alpha = 180^\circ$, а $\sin 180^\circ = 0$, что соответствует полученному результату).

Ответ:

$\sin \alpha = 0$

в) cos $\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Дано:

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Используем основное тригонометрическое тождество и тот факт, что для $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, $\sin \alpha \geq 0$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2}}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{3}{4}}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$

Ответ:

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$