Номер 340, страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

340. Найдите с точностью до $1\text{ дм}^2$ площадь равнобедренной трапеции, в которой:

а) большее основание равно 30 дм, боковая сторона – 10 дм, а угол при большем основании – $56^\circ$;

б) меньшее основание равно 20 дм, высота – 15 дм, а угол при большем основании – $34^\circ$.

а)

Дано:

Равнобедренная трапеция

Большее основание $a = 30$ дм

Боковая сторона $c = 10$ дм

Угол при большем основании $\alpha = 56^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 3.0$ м

$c = 1.0$ м

$\alpha = 56^\circ$

Найти:

Площадь трапеции $S$ с точностью до $1$ дм$^2$.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.

Для равнобедренной трапеции опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковая сторона $c$, а один из катетов - высота $h$. Другой катет, обозначим его $x$, будет равен половине разности оснований (если мы опустим две высоты): $x = \frac{a-b}{2}$.

В прямоугольном треугольнике:

Высота $h = c \cdot \sin(\alpha)$

Отрезок $x = c \cdot \cos(\alpha)$

Вычислим $h$:

$h = 10 \cdot \sin(56^\circ) \approx 10 \cdot 0.8290 \approx 8.290$ дм

Вычислим $x$:

$x = 10 \cdot \cos(56^\circ) \approx 10 \cdot 0.5592 \approx 5.592$ дм

Меньшее основание $b$ найдем из соотношения $a = b + 2x$ (поскольку $a-b = 2x$):

$b = a - 2x = 30 - 2 \cdot 5.592 = 30 - 11.184 = 18.816$ дм

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{30 + 18.816}{2} \cdot 8.290$

$S = \frac{48.816}{2} \cdot 8.290 = 24.408 \cdot 8.290 \approx 202.34232$ дм$^2$

Округляем до $1$ дм$^2$:

$S \approx 202$ дм$^2$

Ответ: 202 дм$^2$

б)

Дано:

Равнобедренная трапеция

Меньшее основание $b = 20$ дм

Высота $h = 15$ дм

Угол при большем основании $\alpha = 34^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 2.0$ м

$h = 1.5$ м

$\alpha = 34^\circ$

Найти:

Площадь трапеции $S$ с точностью до $1$ дм$^2$.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.

Для равнобедренной трапеции опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, где один из катетов - высота $h$, а другой катет, обозначим его $x$, равен половине разности оснований: $x = \frac{a-b}{2}$.

В прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Выразим $x$:

$x = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Вычислим $x$:

$x = \frac{15}{\tan(34^\circ)} \approx \frac{15}{0.6745} \approx 22.2387$ дм

Большее основание $a$ найдем из соотношения $a = b + 2x$:

$a = 20 + 2 \cdot 22.2387 = 20 + 44.4774 = 64.4774$ дм

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{64.4774 + 20}{2} \cdot 15$

$S = \frac{84.4774}{2} \cdot 15 = 42.2387 \cdot 15 \approx 633.5805$ дм$^2$

Округляем до $1$ дм$^2$:

$S \approx 634$ дм$^2$

Ответ: 634 дм$^2$