Номер 360, страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

360. a) Найдите площадь треугольника с вершинами $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$.

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки, равные 16 см и 9 см.

а)

Дано:

Вершины треугольника: $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$.

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

Площадь треугольника по координатам его вершин $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Подставим координаты вершин $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$ в формулу:

$S = \frac{1}{2} |(-2)(5 - 9) + (2)(9 - 2) + (-1)(2 - 5)|$

$S = \frac{1}{2} |(-2)(-4) + (2)(7) + (-1)(-3)|$

$S = \frac{1}{2} |8 + 14 + 3|$

$S = \frac{1}{2} |25|$

$S = 12.5$

Ответ: $12.5$

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки:

$AD = 16 \text{ см}$

$DB = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$DB = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Площадь прямоугольного треугольника $S$.

Решение:

Пусть высота, проведенная к гипотенузе, равна $h$. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, $h^2 = AD \cdot DB$.

$h = \sqrt{AD \cdot DB}$

Подставим значения:

$h = \sqrt{16 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}}$

$h = \sqrt{144 \text{ см}^2}$

$h = 12 \text{ см}$

Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота:

$AB = AD + DB = 16 \text{ см} + 9 \text{ см} = 25 \text{ см}$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$

Подставим значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}$

$S = 25 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$

$S = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$