Номер 8, страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

8. Найдите углы параллелограмма ABCD, если известно, что:

а) $\angle B - \angle A = 50^{\circ}$

б) $\angle D = 3 \cdot \angle C$

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны. Для параллелограмма $ABCD$ это означает, что $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

а)

По условию задачи имеем $\angle B - \angle A = 50^\circ$.

Также мы знаем, что сумма углов, прилежащих к стороне $AB$, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \angle B - \angle A = 50^\circ \\ \angle B + \angle A = 180^\circ \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(\angle B - \angle A) + (\angle B + \angle A) = 50^\circ + 180^\circ$

$2 \cdot \angle B = 230^\circ$

$\angle B = 230^\circ / 2 = 115^\circ$

Теперь найдем угол $A$, подставив значение угла $B$ в одно из уравнений:

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Так как в параллелограмме противоположные углы равны:

$\angle C = \angle A = 65^\circ$

$\angle D = \angle B = 115^\circ$

Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 115^\circ$, $\angle C = 65^\circ$, $\angle D = 115^\circ$.

б)

По условию задачи имеем $\angle D = 3 \cdot \angle C$.

Углы $C$ и $D$ прилежат к одной стороне $CD$, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Подставим в это уравнение условие $\angle D = 3 \cdot \angle C$:

$\angle C + 3 \cdot \angle C = 180^\circ$

$4 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ / 4 = 45^\circ$

Теперь найдем угол $D$:

$\angle D = 3 \cdot \angle C = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Так как в параллелограмме противоположные углы равны:

$\angle A = \angle C = 45^\circ$

$\angle B = \angle D = 135^\circ$

Ответ: $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 135^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle D = 135^\circ$.